Chapter 06 · Ganita Manjari (NEP 2026)
Measuring Space — Perimeter and Area
Measuring Space — Perimeter और Area
Master 2D perimeters, arc length, rectilinear area transformations, Heron's formula, Brahmagupta's cyclic quadrilateral theorem, circular sectors, and complete NCERT Solutions with past 5 years CBSE exam questions.
2D perimeters, arc length, rectilinear area transformations, Heron's formula, Brahmagupta का cyclic quadrilateral theorem, circular sectors, और सभी NCERT Solutions को past 5 years CBSE exam questions के साथ समझें।
1. Core Concepts: Measuring Perimeter and Area
1. Core Concepts: Perimeter और Area का मापन
Section Goal: Understand how space is measured in two dimensions, why perimeter measures boundary length ($1 ext{D}$) while area measures enclosed planar space ($2 ext{D}$), and discover how ancient mathematicians (Baudhāyana, Archimedes, Heron, Brahmagupta, Nīlakaṇṭha) unified these geometric principles.
Section Goal: समझें कि two dimensions में space कैसे measure किया जाता है, perimeter boundary length ($1 ext{D}$) को और area enclosed planar space ($2 ext{D}$) को क्यों measure करता है, और प्राचीन mathematicians (Baudhāyana, Archimedes, Heron, Brahmagupta, Nīlakaṇṭha) ने इन geometric principles को कैसे unify किया।
🏃 The 400m Track & Fencing Analogy
🏃 400m Track और Fencing का Example
If you walk around the boundary of a farm to put a wire fence, you are measuring its perimeter (units: $ ext{m, cm}$). If you plough the fertile soil inside to sow seeds or spread grass, you are measuring its area (units: $ ext{m}^2, ext{cm}^2$). On a curved running track, outer lane runners must be staggered forward because circles of larger radius have longer circumferences ($C = 2\pi r$) [NCERT p.127]!
यदि आप खेत के चारों तरफ तार लगाने के लिए boundary के साथ चलते हैं, तो आप उसका perimeter measure कर रहे हैं (units: $ ext{m, cm}$)। यदि आप seeds बोने के लिए अंदर की जमीन पर हल चलाते हैं, तो आप उसका area measure कर रहे हैं (units: $ ext{m}^2, ext{cm}^2$)। Running track पर बाहर की lane वाले धावकों को आगे stagger दिया जाता है क्योंकि बड़े radius वाले circle का circumference ($C = 2\pi r$) अधिक होता है [NCERT p.127]!
4. Solved In-Text Think & Reflect Proofs
4. हल किए गए In-Text Think & Reflect Proofs
Think & Reflect · p.127 On a standard 400 m athletics track, straight sections are $84.39 ext{ m}$ each, innermost lane radius is $36.5 ext{ m}$, and lane width is $w = 1.22 ext{ m}$. Find the stagger needed for lane 2. Is an equal stagger needed between subsequent lanes? [NCERT p.127]
Think & Reflect · p.127 400 m athletics track पर straight sections $84.39 ext{ m}$ हैं, innermost lane का radius $36.5 ext{ m}$ है और lane width $w = 1.22 ext{ m}$ है। Lane 2 के लिए ज़रूरी stagger निकालें। क्या अगली lanes के बीच भी समान stagger होगा? [NCERT p.127]
1. Straight vs Curved Distance Both runners cover identical distances on the two straight stretches: $2 imes 84.39 = 168.78 ext{ m}$.
2. Curved Semicircle Difference
• Lane 1 effective radius $= r_1 = 36.5 + 0.3 = 36.8 ext{ m}$.
• Lane 2 effective radius $= r_2 = 36.8 + 1.22 = 38.02 ext{ m}$.
• Extra distance run in lane 2 $= 2\pi r_2 - 2\pi r_1 = 2\pi(r_2 - r_1) = 2\pi w$.
3. Numerical Stagger Calculation
$$ ext{Stagger } \Delta = 2 imes rac{22}{7} imes 1.22 = rac{53.68}{7} pprox \mathbf{7.67 ext{ metres}}$$
Since each lane increases the radius by the same width $w = 1.22 ext{ m}$, the stagger between lane 3 and lane 2 is also exactly $\mathbf{2\pi w pprox 7.67 ext{ m}}$.
🎯 Final Answer: Stagger for Lane 2 is $\mathbf{2\pi w pprox 7.67 ext{ m}}$; Yes, an identical stagger is required between every consecutive pair of lanes.
1. Straight और Curved distance दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है दोनों धावक दो straight stretches पर समान distance तय करते हैं: $2 imes 84.39 = 168.78 ext{ m}$।
2. Radius का अंतर दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
• Lane 1 radius $= r_1 = 36.8 ext{ m}$।
• Lane 2 radius $= r_2 = 36.8 + 1.22 = 38.02 ext{ m}$।
• Lane 2 में extra distance $= 2\pi(r_2 - r_1) = 2\pi w$।
3. Stagger की Calculation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$ ext{Stagger } \Delta = 2 imes rac{22}{7} imes 1.22 pprox \mathbf{7.67 ext{ metres}}$$
चूंकि हर lane में width $w = 1.22 ext{ m}$ समान रूप से बढ़ती है, इसलिए lane 3 और lane 2 के बीच भी समान stagger $\mathbf{7.67 ext{ m}}$ होगा।
🎯 final answer: Lane 2 के लिए stagger $\mathbf{7.67 ext{ m}}$ है; हाँ, हर अगली lane के लिए समान stagger की ज़रूरत होती है।
Think & Reflect · p.128 Two congruent circles of radius $r$ pass through each other's centres (centres $A$ and $B$, $AB = r$). Find the total outer perimeter of the combined figure. [NCERT p.128]
Think & Reflect · p.128 Radius $r$ वाले दो congruent circles एक-दूसरे के centres $A$ और $B$ ($AB = r$) से गुजरते हैं। इस आकृति का कुल outer perimeter निकालें। [NCERT p.128]
1. Central Angle of Overlap Let circles intersect at $C$ and $D$. Since $AB = AC = BC = r$, $\Delta ABC$ is equilateral $\implies ngle CAB = 60^\circ$. Similarly $ngle DAB = 60^\circ \implies ngle CAD = 120^\circ$.
2. Major Arc Calculation The internal dotted arc subtends $120^\circ$ at centre $A$ ($ rac{120}{360} = rac{1}{3}$ of circumference). The outer solid arc subtends $360^\circ - 120^\circ = 240^\circ$ ($ rac{2}{3}$ of circumference).
3. Total Combined Perimeter By symmetry, both circles contribute an outer arc of length $ rac{2}{3}(2\pi r)$:
$$ ext{Total Perimeter} = 2 imes \left( rac{2}{3} imes 2\pi r
ight) = \mathbf{ rac{8}{3}\pi r}$$
🎯 Final Answer: Outer perimeter $= \mathbf{ rac{8}{3}\pi r ext{ units}}$.
1. Central Angle निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Intersection points $C$ और $D$ पर $AB = AC = BC = r$ होने से $\Delta ABC$ equilateral बनता है $\implies ngle CAD = 120^\circ$।
2. Outer Major Arc दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Internal arc $120^\circ$ ($ rac{1}{3}$) subtend करता है, अतः outer solid arc $240^\circ$ ($ rac{2}{3}$) subtend करेगा।
3. Total Perimeter की Calculation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$ ext{Total Perimeter} = 2 imes \left( rac{2}{3} imes 2\pi r
ight) = \mathbf{ rac{8}{3}\pi r}$$
🎯 final answer: कुल outer perimeter $= \mathbf{ rac{8}{3}\pi r ext{ units}}$ है।
Think & Reflect · p.128 Between points $P$ and $Q$, Path 1 consists of a single large semicircle $a$, while Path 2 consists of three smaller collinear semicircles $b, c, d$. Prove that both paths have equal length. [NCERT p.128]
Think & Reflect · p.128 Points $P$ और $Q$ के बीच Path 1 एक बड़े semicircle $a$ से बना है, जबकि Path 2 तीन छोटे collinear semicircles $b, c, d$ से बना है। proved करें कि दोनों paths की length बराबर है। [NCERT p.128]
1. Diameters Relation Total length $PQ = 2a' = 2b' + 2c' + 2d'$, where $a', b', c', d'$ are the respective radii $\implies a' = b' + c' + d'$.
2. Arc Length Comparison
• Length of Path 1 $= \pi a'$.
• Length of Path 2 $= \pi b' + \pi c' + \pi d' = \pi(b' + c' + d')$.
3. Conclusion Since $a' = b' + c' + d'$, $\pi a' = \pi(b' + c' + d')$.
🎯 Final Answer: Both paths have strictly equal length $\pi a'$.
1. Diameters का relation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $PQ = 2a' = 2b' + 2c' + 2d' \implies a' = b' + c' + d'$ (जहाँ $a', b', c', d'$ radii हैं)।
2. Arc Length की तुलना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
• Path 1 length $= \pi a'$।
• Path 2 length $= \pi(b' + c' + d')$।
3. conclusion दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है चूंकि $a' = b' + c' + d'$ है, अतः दोनों paths की length बिल्कुल बराबर है।
🎯 final answer: दोनों paths की length बिल्कुल बराबर ($\pi a'$) है।
Think & Reflect · p.131 If a parallelogram is 'thin' such that the altitude from a vertex falls outside the base, explain why the area formula $ ext{Area} = ext{base} imes ext{height} = bh$ still holds rigorously. [NCERT p.131]
Think & Reflect · p.131 यदि कोई parallelogram इतना 'thin' है कि उसका altitude base के बाहर गिरता है, तो समझाएं कि area formula $ ext{Area} = bh$ क्यों पूरी तरह मान्य रहता है। [NCERT p.131]
1. Cavalieri / Shear Step Shift the top base along its line by step $A'A = D'D$. Since the sheared triangle $\Delta CDD' \cong \Delta BAA'$, the area is invariant.
2. Finite Reduction After a finite number of shifts, the parallelogram transforms into a standard non-skewed parallelogram where the altitude falls inside the base.
3. Rectangular Equivalence The resulting standard parallelogram dissects directly into a rectangle of base $b$ and height $h$. Thus $ ext{Area} = bh$.
🎯 Final Answer: Area of any parallelogram is invariant under shearing and strictly equals $\mathbf{bh}$.
1. Shear Transformation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Base line के साथ $A'A = D'D$ shift करने पर $\Delta CDD' \cong \Delta BAA'$ बनता है, जिससे area invariant (unchanged) रहता है।
2. Standard Form में बदलना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है कुछ steps के बाद altitude base के अंदर आ जाता है।
3. Rectangle Equivalence दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है यह base $b$ और height $h$ वाले rectangle के समान area देता है: $ ext{Area} = bh$।
🎯 final answer: सभी parallelograms का area base $ imes$ height $= \mathbf{bh}$ होता है।
Think & Reflect · p.135 Derive the area of an equilateral triangle of side $a$ using Heron's formula, and verify with the $\frac{1}{2}bh$ formula. [NCERT p.135]
Think & Reflect · p.135 Heron's formula का इस्तेमाल करके side $a$ वाले equilateral triangle का area निकालें, और $\frac{1}{2}bh$ से verify करें। [NCERT p.135]
1. Semi-Perimeter $s = \frac{a + a + a}{2} = \frac{3a}{2}$.
2. Heron's Formula
$$A = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)\left(\frac{3a}{2}-a\right)} = \sqrt{\frac{3a}{2} \times \left(\frac{a}{2}\right)^3} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}$$
3. Verification with $\frac{1}{2}bh$ Altitude $h = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a \implies A = \frac{1}{2}(a)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}$.
🎯 Final Answer: Area of equilateral triangle $= \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}$.
1. Semi-Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $s = \frac{3a}{2}$।
2. Heron's Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \sqrt{\frac{3a}{2}\left(\frac{a}{2}\right)^3} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}$।
3. Verification दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Altitude $h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \implies A = \frac{1}{2}bh = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}$।
🎯 final answer: Equilateral triangle का area $= \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2}$ proved होता है।
Think & Reflect · p.135 Find the area of an isosceles triangle with equal sides $a$ and base $2b$ using Heron's formula. [NCERT p.135]
Think & Reflect · p.135 Equal sides $a$ और base $2b$ वाले isosceles triangle का area Heron's formula से find करें। [NCERT p.135]
1. Semi-Perimeter $s = \frac{a + a + 2b}{2} = a + b$.
2. Heron's Formula
$$A = \sqrt{(a+b)(a+b-a)(a+b-a)(a+b-2b)} = \sqrt{(a+b)(b)(b)(a-b)} = \sqrt{b^2(a^2 - b^2)} = \mathbf{b\sqrt{a^2 - b^2}}$$
3. Verification with Baudhāyana-Pythagoras Altitude $h = \sqrt{a^2 - b^2} \implies A = \frac{1}{2}(2b)h = \mathbf{b\sqrt{a^2 - b^2}}$.
🎯 Final Answer: Area of isosceles triangle $= \mathbf{b\sqrt{a^2 - b^2}}$.
1. Semi-Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $s = a + b$।
2. Heron's Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \sqrt{(a+b)(b^2)(a-b)} = \mathbf{b\sqrt{a^2 - b^2}}$।
3. Verification दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Altitude $h = \sqrt{a^2 - b^2} \implies A = \frac{1}{2}(2b)h = \mathbf{b\sqrt{a^2 - b^2}}$।
🎯 final answer: Isosceles triangle का area $= \mathbf{b\sqrt{a^2 - b^2}}$ प्राप्त होता है।
Think & Reflect · p.141 Explain Baudhāyana's (c. 800 BCE) geometric construction proof for squaring a rectangle of dimensions $a \times b$. [NCERT p.141]
Think & Reflect · p.141 Dimensions $a \times b$ वाले rectangle को square में बदलने की Baudhāyana (800 BCE) की geometric construction विधि समझाएं। [NCERT p.141]
1. Algebraic Identity The construction is a geometric manifestation of:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab$$
2. Construction Steps
• Construct segment $AF = \frac{a+b}{2}$ on rectangle base.
• Draw circle with radius $HK = \frac{a+b}{2}$ centered at $H$, intersecting perpendicular line at $P$.
• In right $\Delta HKP$, $HP^2 = HK^2 - BH^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab$.
3. Conclusion The constructed square on side $HP$ has area exactly equal to the rectangle area $ab$.
🎯 Final Answer: Square of side $HP = \sqrt{ab}$ has area $\mathbf{ab}$, successfully squaring the rectangle.
1. Algebraic Identity दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है यह $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab$ पर based है।
2. Construction दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Right $\Delta HKP$ में Pythagoras theorem से $HP^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = ab$ प्राप्त होता है।
3. Conclusion दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Side $HP$ पर बना square दिए गए rectangle के समान area $ab$ रखता है।
🎯 final answer: Square का area $= \mathbf{ab}$ proved होता है।
Think & Reflect · p.140 Show how Brahmagupta's formula for a cyclic quadrilateral rigorously generalises Heron's formula for a triangle. [NCERT p.140]
Think & Reflect · p.140 दिखाएं कि Brahmagupta का cyclic quadrilateral formula Heron's formula को कैसे generalise करता है। [NCERT p.140]
1. Cyclic 4-gon Degeneration Consider a cyclic quadrilateral with sides $a, b, c, d$. Let side $d o 0$ (vertices $A$ and $D$ coincide). The 4-gon collapses into a triangle of sides $a, b, c$.
2. Semi-Perimeter $s = rac{a+b+c+0}{2} = rac{a+b+c}{2}$, which is the triangle's semi-perimeter.
3. Substitution into Brahmagupta's Formula
$$ ext{Area} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-0)} = \mathbf{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$
This is identically Heron's formula.
🎯 Final Answer: Heron's formula is the special case $d = 0$ of Brahmagupta's formula.
1. Degeneration दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है जब cyclic 4-gon की चौथी side $d = 0$ हो जाती है, तो यह triangle बन जाता है।
2. Semi-Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $s = rac{a+b+c}{2}$ triangle का semi-perimeter बनता है।
3. Brahmagupta Formula में मान रखना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$ ext{Area} = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-0)} = \mathbf{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$
🎯 final answer: Heron's formula Brahmagupta formula का special case ($d=0$) है।
Think & Reflect · p.146 Explain Nīlakaṇṭha Somayājī's (c. 1500 CE) geometric slice rearrangement proof that the area of a circle equals $\pi r^2$. [NCERT p.146]
Think & Reflect · p.146 Nīlakaṇṭha Somayājī (1500 CE) की circle slices rearrangement विधि द्वारा proved करें कि circle का area $\pi r^2$ होता है। [NCERT p.146]
1. Slice Dissection A circular disc of radius $r$ is cut into $2n$ identical wedge sectors. Half ($n$ wedges) point upwards and half point downwards.
2. Parallelogram Assembly When interlocked, the top and bottom edges each consist of $n$ curved arcs totaling $ rac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$. The slanted height equals radius $r$.
3. Limit as $n o \infty$ As $n o \infty$, the sector arcs become perfectly straight lines perpendicular to the radius. The shape converges to a rectangle of base $\pi r$ and height $r$:
$$ ext{Area} = ext{base} imes ext{height} = (\pi r) imes r = \mathbf{\pi r^2}$$
🎯 Final Answer: Circular area $= \mathbf{\pi r^2}$ by limit convergence to a rectangle.
1. Slices काटना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Circle को $2n$ समान wedges में काटा जाता है (आधे ऊपर, आधे नीचे)।
2. Parallelogram बनाना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Interlock करने पर base $= rac{1}{2}(2\pi r) = \pi r$ और height $= r$ मिलती है।
3. Limit $n o \infty$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है जब wedges की count endless होती है, यह shape $\pi r imes r$ वाले rectangle में बदल जाती है:
$$ ext{Area} = ext{base} imes ext{height} = \mathbf{\pi r^2}$$
🎯 final answer: Circle का area $= \mathbf{\pi r^2}$ प्राप्त होता है।
NCERT
5. Complete NCERT Exercise Solutions (Sets 6.1, 6.2, 6.3)
5. सम्पूर्ण NCERT Solutions (Exercise Sets 6.1, 6.2, 6.3)
NCERT
Exercise Set 6.1 — Perimeter, Circumference & Arc Length
Exercise Set 6.1 — Perimeter, Circumference और Arc Length
Ex 6.1 · Q1 The perimeter of a circle is $44 ext{ cm}$. What is its radius? [NCERT p.129]
exercise 6.1 · Q1 एक circle का perimeter $44 ext{ cm}$ है। उसका radius क्या होगा? [NCERT p.129]
1. Formula Circumference $C = 2\pi r = 44 ext{ cm}$.
2. Solve for $r$
$$2 imes rac{22}{7} imes r = 44 \implies rac{44}{7}r = 44 \implies r = 7 ext{ cm}$$
🎯 Final Answer: Radius $= \mathbf{7 ext{ cm}}$.
1. Formula का इस्तेमाल करके दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है हम जानते हैं कि Circumference $C = 2\pi r = 44 ext{ cm}$।
2. $r$ निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$2 imes rac{22}{7} imes r = 44 \implies r = 7 ext{ cm}$$
🎯 final answer: Radius $= \mathbf{7 ext{ cm}}$ है।
Ex 6.1 · Q2 Calculate, correct to 3 significant figures, the circumference of a circle with: (i) radius $7 ext{ cm}$, (ii) radius $10 ext{ cm}$, (iii) radius $12 ext{ cm}$. [NCERT p.129]
exercise 6.1 · Q2 3 significant figures तक circle का circumference calculate करें यदि: (i) radius $7 ext{ cm}$, (ii) radius $10 ext{ cm}$, (iii) radius $12 ext{ cm}$ हो। [NCERT p.129]
1. भाग (i) $r = 7 ext{ cm}$ $C = 2 imes rac{22}{7} imes 7 = 44 = \mathbf{44.0 ext{ cm}}$.
2. भाग (ii) $r = 10 ext{ cm}$ $C = 2 imes 3.1416 imes 10 = 62.83 pprox \mathbf{62.8 ext{ cm}}$.
3. भाग (iii) $r = 12 ext{ cm}$ $C = 2 imes 3.1416 imes 12 = 75.398 pprox \mathbf{75.4 ext{ cm}}$.
🎯 Final Answer: (i) $\mathbf{44.0 ext{ cm}}$, (ii) $\mathbf{62.8 ext{ cm}}$, (iii) $\mathbf{75.4 ext{ cm}}$.
1. भाग (i) $r = 7 ext{ cm}$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $C = 2 imes rac{22}{7} imes 7 = \mathbf{44.0 ext{ cm}}$।
2. भाग (ii) $r = 10 ext{ cm}$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $C = 2 imes 3.1416 imes 10 = \mathbf{62.8 ext{ cm}}$।
3. भाग (iii) $r = 12 ext{ cm}$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $C = 2 imes 3.1416 imes 12 = \mathbf{75.4 ext{ cm}}$।
🎯 final answer: (i) $\mathbf{44.0 ext{ cm}}$, (ii) $\mathbf{62.8 ext{ cm}}$, (iii) $\mathbf{75.4 ext{ cm}}$।
Ex 6.1 · Q3 Calculate arc length if: (i) radius $= 3.5 ext{ cm}, heta = 60^\circ$; (ii) radius $= 6.3 ext{ m}, heta = 120^\circ$. [NCERT p.129]
exercise 6.1 · Q3 Arc length calculate करें यदि: (i) radius $= 3.5 ext{ cm}, heta = 60^\circ$; (ii) radius $= 6.3 ext{ m}, heta = 120^\circ$ हो। [NCERT p.129]
1. Arc Length Formula $l = rac{ heta}{360} imes 2\pi r$.
2. भाग (i) $l = rac{60}{360} imes 2 imes rac{22}{7} imes 3.5 = rac{1}{6} imes 22 = \mathbf{ rac{11}{3} pprox 3.67 ext{ cm}}$.
3. भाग (ii) $l = rac{120}{360} imes 2 imes rac{22}{7} imes 6.3 = rac{1}{3} imes 44 imes 0.9 = 44 imes 0.3 = \mathbf{13.2 ext{ m}}$.
🎯 Final Answer: (i) $\mathbf{3.67 ext{ cm}}$ (or $ rac{11}{3} ext{ cm}$), (ii) $\mathbf{13.2 ext{ m}}$.
1. Arc Length के Formula से मान निकालने पर दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $l = rac{ heta}{360} imes 2\pi r$।
2. भाग (i) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $l = rac{1}{6} imes 2 imes rac{22}{7} imes 3.5 = \mathbf{ rac{11}{3} pprox 3.67 ext{ cm}}$।
3. भाग (ii) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $l = rac{1}{3} imes 2 imes rac{22}{7} imes 6.3 = \mathbf{13.2 ext{ m}}$।
🎯 final answer: (i) $\mathbf{3.67 ext{ cm}}$, (ii) $\mathbf{13.2 ext{ m}}$।
Ex 6.1 · Q4 Find the perimeter of a sector of radius $14 ext{ cm}$ and angle $75^\circ$. [NCERT p.129]
exercise 6.1 · Q4 Radius $14 ext{ cm}$ और angle $75^\circ$ वाले sector का total perimeter निकालें। [NCERT p.129]
1. Arc Length $l$
$$l = rac{75}{360} imes 2 imes rac{22}{7} imes 14 = rac{5}{24} imes 88 = rac{55}{3} ext{ cm} pprox 18.33 ext{ cm}$$
2. Total Perimeter
$$ ext{Perimeter} = l + 2r = rac{55}{3} + 2(14) = rac{55 + 84}{3} = rac{139}{3} pprox \mathbf{46.33 ext{ cm}}$$
🎯 Final Answer: Perimeter of sector $= \mathbf{ rac{139}{3} ext{ cm} pprox 46.33 ext{ cm}}$.
1. Arc Length $l$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $l = rac{75}{360} imes 2 imes rac{22}{7} imes 14 = rac{55}{3} ext{ cm}$।
2. कुल Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ ext{Perimeter} = l + 2r = rac{55}{3} + 28 = rac{139}{3} pprox \mathbf{46.33 ext{ cm}}$।
🎯 final answer: Sector का perimeter $= \mathbf{46.33 ext{ cm}}$ है।
Ex 6.1 · Q6 A car tyre diameter is $56 ext{ cm}$. (i) Distance in 1 revolution; (ii) Number of revolutions in $10 ext{ km}$. [NCERT p.130]
exercise 6.1 · Q6 Car tyre का diameter $56 ext{ cm}$ है। (i) 1 revolution में distance; (ii) $10 ext{ km}$ यात्रा में कितने revolutions होंगे? [NCERT p.130]
1. भाग (i) Distance per Revolution
$$C = \pi d = rac{22}{7} imes 56 = 176 ext{ cm} = \mathbf{1.76 ext{ m}}$$
2. भाग (ii) Revolutions in $10 ext{ km}$
$$ ext{Total Distance} = 10 ext{ km} = 10,000 ext{ m}$$
$$ ext{Revolutions} = rac{10000}{1.76} = rac{1000000}{176} = \mathbf{5681.82 pprox 5682 ext{ revolutions}}$$
🎯 Final Answer: (i) $\mathbf{176 ext{ cm}}$ ($1.76 ext{ m}$), (ii) $\mathbf{5682 ext{ revolutions}}$.
1. 1 Revolution में तय distance दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $C = \pi d = rac{22}{7} imes 56 = \mathbf{176 ext{ cm} = 1.76 ext{ m}}$।
2. $10 ext{ km}$ में Revolutions दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ ext{Revolutions} = rac{10000}{1.76} pprox \mathbf{5682 ext{ revolutions}}$।
🎯 final answer: (i) $\mathbf{1.76 ext{ m}}$, (ii) $\mathbf{5682 ext{ revolutions}}$।
Ex 6.1 · Q7 Find total perimeter of petals in: (i) Square flower of side $14 ext{ cm}$; (ii) Hexagon flower of side $42 ext{ cm}$. [NCERT p.130]
exercise 6.1 · Q7 Petals का total perimeter निकालें: (i) Side $14 ext{ cm}$ वाले square flower में; (ii) Side $42 ext{ cm}$ वाले hexagon flower में। [NCERT p.130]
1. भाग (i) Square Flower Side $= 14 ext{ cm}$, radius of semicircular arcs $= 7 ext{ cm}$. There are 4 petals consisting of 8 semicircular arc halves $= 4$ full semicircles $= 2$ full circles of radius $7 ext{ cm}$:
$$ ext{Perimeter} = 4 imes (\pi r) = 4 imes \left( rac{22}{7} imes 7
ight) = \mathbf{88 ext{ cm}}$$
2. भाग (ii) Hexagon Flower Side $= 42 ext{ cm}$, arcs subtend $60^\circ$ at vertices. Total 12 arc segments $= 12 imes \left( rac{60}{360} imes 2\pi imes 42
ight) = 2 imes 2 imes rac{22}{7} imes 42 = \mathbf{528 ext{ cm}}$.
🎯 Final Answer: (i) $\mathbf{88 ext{ cm}}$, (ii) $\mathbf{528 ext{ cm}}$.
1. भाग (i) Square Flower दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Radius $r = 7 ext{ cm}$ है। कुल perimeter $= 4 imes (\pi imes 7) = \mathbf{88 ext{ cm}}$।
2. भाग (ii) Hexagon Flower दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है कुल perimeter $= 12 imes \left( rac{1}{6} imes 2\pi imes 42
ight) = \mathbf{528 ext{ cm}}$।
🎯 final answer: (i) $\mathbf{88 ext{ cm}}$, (ii) $\mathbf{528 ext{ cm}}$।
Ex 6.1 · Q8 The ratio of perimeters of two circles is $5:4$. What is the ratio of their radii? [NCERT p.130]
exercise 6.1 · Q8 दो circles के perimeters का ratio $5:4$ है। उनके radii का ratio क्या होगा? [NCERT p.130]
1. Perimeter Ratio Relation $ rac{C_1}{C_2} = rac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = rac{r_1}{r_2}$.
2. Conclusion Since $ rac{C_1}{C_2} = rac{5}{4}$, the ratio of radii is $\mathbf{5:4}$.
🎯 Final Answer: Ratio of radii $= \mathbf{5:4}$.
1. Perimeters के Ratio से relation देखने पर दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ rac{C_1}{C_2} = rac{r_1}{r_2} = rac{5}{4}$।
2. conclusion दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Radii का ratio भी $5:4$ होगा।
🎯 final answer: Radii का ratio $= \mathbf{5:4}$ है।
NCERT
Exercise Set 6.2 — Area Transformations & Heron's Formula
Exercise Set 6.2 — Area Transformations और Heron's Formula
Ex 6.2 · Q1 Find the area of triangle $ADE$ in Figure 6.31 (rectangle $ABCD$ of length $10\text{ cm}$ and width $8\text{ cm}$, with $E$ on $BC$). [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q1 Figure 6.31 में triangle $ADE$ का area निकालें (rectangle $ABCD$ की length $10\text{ cm}$, width $8\text{ cm}$ है और $E$ side $BC$ पर स्थित है)। [NCERT p.142]
1. Base and Altitude In $\Delta ADE$, base $AD = 10\text{ cm}$. The perpendicular height from $E$ to $AD$ is equal to width $AB = 8\text{ cm}$.
2. Area Computation
$$A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = \mathbf{40\text{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Area of $\Delta ADE = \mathbf{40\text{ cm}^2}$.
1. Base और Height दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\Delta ADE$ में base $AD = 10\text{ cm}$ और height $h = 8\text{ cm}$ है।
2. Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = \mathbf{40\text{ cm}^2}$।
🎯 final answer: $\Delta ADE$ का area $= \mathbf{40\text{ cm}^2}$ है।
Ex 6.2 · Q6 $ABCD$ is a parallelogram. $P$ and $Q$ are any two points on side $AB$. What is the ratio $\text{Area}(\Delta PCD) : \text{Area}(\Delta QCD)$? [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q6 $ABCD$ एक parallelogram है। $P$ और $Q$ side $AB$ पर स्थित दो points हैं। $\text{Area}(\Delta PCD) : \text{Area}(\Delta QCD)$ का ratio क्या होगा? [NCERT p.142]
1. Shared Base and Parallel Lines Both $\Delta PCD$ and $\Delta QCD$ lie on the exact same base $CD$ and between the same parallel lines $AB \parallel CD$.
2. Equal Heights The perpendicular distance from $AB$ to $CD$ is constant $h$. Thus:
$$\text{Area}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \times CD \times h, \quad \text{Area}(\Delta QCD) = \frac{1}{2} \times CD \times h$$
🎯 Final Answer: Ratio $= \mathbf{1:1}$ (both triangles have equal area $\frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)$).
1. Same Base और Parallel Lines दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है दोनों triangles का base $CD$ समान है और parallel lines $AB \parallel CD$ के बीच स्थित हैं।
2. Ratio दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है दोनों का area $\frac{1}{2} CD \times h$ समान है।
🎯 final answer: Ratio $= \mathbf{1:1}$ है।
Ex 6.2 · Q7 $O$ is any point on diagonal $PR$ of parallelogram $PQRS$. Prove that $\text{Area}(\Delta PSO) = \text{Area}(\Delta PQO)$. [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q7 Parallelogram $PQRS$ के diagonal $PR$ पर $O$ कोई point है। proved करें कि $\text{Area}(\Delta PSO) = \text{Area}(\Delta PQO)$ होगा। [NCERT p.142]
1. Diagonal Splitting Diagonal $PR$ divides parallelogram $PQRS$ into two congruent triangles: $\text{Area}(\Delta PSR) = \text{Area}(\Delta PQR)$.
2. Sub-Triangle Equivalence Similarly, for point $O$ on diagonal $PR$, $\text{Area}(\Delta OSR) = \text{Area}(\Delta OQR)$ (same base $OR$ and equal perpendicular distances from $S$ and $Q$).
3. Area Subtraction
$$\text{Area}(\Delta PSO) = \text{Area}(\Delta PSR) - \text{Area}(\Delta OSR) = \text{Area}(\Delta PQR) - \text{Area}(\Delta OQR) = \mathbf{\text{Area}(\Delta PQO)}$$
🎯 Final Answer: $\mathbf{\text{Area}(\Delta PSO) = \text{Area}(\Delta PQO)}$.
1. Diagonal Partition दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $Triangle का Area PSR) = Triangle का Area PQR)$ और $Triangle का Area OSR) = Triangle का Area OQR)$।
2. Area Subtraction दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है घटाने पर $\text{Area}(\Delta PSO) = \mathbf{\text{Area}(\Delta PQO)}$ प्राप्त होता है।
🎯 final answer: $\mathbf{\text{Area}(\Delta PSO) = \text{Area}(\Delta PQO)}$ proved.
Ex 6.2 · Q8 Prove Varignon's Theorem: The quadrilateral formed by joining the midpoints of the sides of any 4-gon is a parallelogram whose area is half the area of the 4-gon. [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q8 Varignon's Theorem proved करें: किसी 4-gon की sides के midpoints को मिलाने से बना quadrilateral एक parallelogram होता है जिसका area मूल 4-gon का आधा होता है। [NCERT p.142]
1. Midpoint Theorem In 4-gon $ABCD$, let $P, Q, R, S$ be midpoints of $AB, BC, CD, DA$. Draw diagonal $AC$. By midpoint theorem in $\Delta ABC$, $PQ \parallel AC$ and $PQ = \frac{1}{2}AC$. In $\Delta ADC$, $SR \parallel AC$ and $SR = \frac{1}{2}AC \implies PQRS$ is a parallelogram.
2. Corner Triangle Areas
• $\text{Area}(\Delta PBQ) = \frac{1}{4}\text{Area}(\Delta ABC)$.
• $\text{Area}(\Delta SDR) = \frac{1}{4}\text{Area}(\Delta ADC)$.
• Sum of these two corners $= \frac{1}{4}[\text{Area}(\Delta ABC) + \text{Area}(\Delta ADC)] = \frac{1}{4}\text{Area}(ABCD)$.
3. Total Inscribed Area Similarly, the other two corner triangles sum to $\frac{1}{4}\text{Area}(ABCD)$. Thus:
$$\text{Area}(PQRS) = \text{Area}(ABCD) - 2\left(\frac{1}{4}\text{Area}(ABCD)\right) = \mathbf{\frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)}$$
🎯 Final Answer: $\mathbf{\text{Area}(PQRS) = \frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)}$.
1. Midpoint Theorem दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Midpoint theorem से $PQ \parallel SR$ और $PQ = SR = \frac{1}{2}AC \implies PQRS$ parallelogram है।
2. Corner Triangles Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है चारों corner triangles का कुल area $= \frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)$ है।
3. Area of Parallelogram दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Area}(PQRS) = \text{Area}(ABCD) - \frac{1}{2}\text{Area}(ABCD) = \mathbf{\frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)}$।
🎯 final answer: $\mathbf{\text{Area}(PQRS) = \frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)}$ proved.
Ex 6.2 · Q9 In $\Delta ABC$, $D$ is the midpoint of $BC$ and $AD$ is a median. $P$ is any point on $AD$. Show that $\text{Area}(\Delta ABP) = \text{Area}(\Delta ACP)$. [NCERT p.143]
exercise 6.2 · Q9 $\Delta ABC$ में $D$ side $BC$ का midpoint है और $AD$ median है। $AD$ पर $P$ कोई point है। दिखाएं कि $\text{Area}(\Delta ABP) = \text{Area}(\Delta ACP)$ होगा। [NCERT p.143]
1. Main Median Division $AD$ is median of $\Delta ABC \implies \text{Area}(\Delta ABD) = \text{Area}(\Delta ACD)$.
2. Sub-Triangle Median Division In $\Delta PBC$, $PD$ is median to base $BC \implies \text{Area}(\Delta PBD) = \text{Area}(\Delta PCD)$.
3. Subtracting Areas
$$\text{Area}(\Delta ABP) = \text{Area}(\Delta ABD) - \text{Area}(\Delta PBD) = \text{Area}(\Delta ACD) - \text{Area}(\Delta PCD) = \mathbf{\text{Area}(\Delta ACP)}$$
🎯 Final Answer: $\mathbf{\text{Area}(\Delta ABP) = \text{Area}(\Delta ACP)}$.
1. Median Property दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $Triangle का Area ABD) = Triangle का Area ACD)$ और $Triangle का Area PBD) = Triangle का Area PCD)$।
2. Area Subtraction दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है घटाने पर $\text{Area}(\Delta ABP) = \mathbf{\text{Area}(\Delta ACP)}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\text{Area}(\Delta ABP) = \text{Area}(\Delta ACP)}$.
Ex 6.2 · Q10 Given square $ABCD$, let $P$ be any point within it. Find the ratio of areas of the red region $(\Delta PAB + \Delta PCD)$ and the green region $(\Delta PBC + \Delta PDA)$. [NCERT p.143]
exercise 6.2 · Q10 Square $ABCD$ के अंदर $P$ कोई point है। Red region $(\Delta PAB + \Delta PCD)$ और green region $(\Delta PBC + \Delta PDA)$ के areas का ratio निकालें। [NCERT p.143]
1. Red Region Area Let square side be $s$. Perpendicular distances from $P$ to $AB$ and $CD$ are $y_1$ and $y_2$ with $y_1 + y_2 = s$:
$$\text{Area}(\text{Red}) = \frac{1}{2}s y_1 + \frac{1}{2}s y_2 = \frac{1}{2}s(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}s^2 = \frac{1}{2}\text{Area}(ABCD)$$
2. Green Region Area Similarly, distances to $BC$ and $DA$ are $x_1$ and $x_2$ with $x_1 + x_2 = s \implies \text{Area}(\text{Green}) = \frac{1}{2}s^2$.
🎯 Final Answer: Ratio $= \mathbf{1:1}$ (each region covers exactly half the square).
1. Red Region दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $Area(\text{Red}) = \frac{1}{2}s(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}s^2$।
2. Green Region दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Area}(\text{Green}) = \frac{1}{2}s(x_1 + x_2) = \frac{1}{2}s^2$।
🎯 final answer: Ratio $= \mathbf{1:1}$ है।
Ex 6.2 · Q11 In $\Delta ABC$, $D$ is the midpoint of $AB$. $P$ is on $BC$, and $Q$ on $AB$ such that $CQ \parallel PD$. Prove that $\text{Area}(\Delta BPQ) = \frac{1}{2}\text{Area}(\Delta ABC)$. [NCERT p.143]
exercise 6.2 · Q11 $\Delta ABC$ में $D$ side $AB$ का midpoint है। $P$ side $BC$ पर और $Q$ side $AB$ पर ऐसे points हैं कि $CQ \parallel PD$ है। proved करें कि $\text{Area}(\Delta BPQ) = \frac{1}{2}\text{Area}(\Delta ABC)$ होगा। [NCERT p.143]
1. Parallel Lines Equivalence Since $CQ \parallel PD$, triangles $\Delta DPQ$ and $\Delta DPC$ share the same base $PD$ and lie between parallel lines $PD \parallel CQ \implies \text{Area}(\Delta DPQ) = \text{Area}(\Delta DPC)$.
2. Area Sum
$$\text{Area}(\Delta BPQ) = \text{Area}(\Delta BPD) + \text{Area}(\Delta DPQ) = \text{Area}(\Delta BPD) + \text{Area}(\Delta DPC) = \text{Area}(\Delta BDC)$$
3. Median Halving In $\Delta ABC$, $CD$ is a median to $AB \implies \text{Area}(\Delta BDC) = \mathbf{\frac{1}{2}\text{Area}(\Delta ABC)}$.
🎯 Final Answer: $\mathbf{\text{Area}(\Delta BPQ) = \frac{1}{2}\text{Area}(\Delta ABC)}$.
1. Parallel Lines दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $CQ \parallel PD$ से $Triangle का Area DPQ) = Triangle का Area DPC)$।
2. Area Sum दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Area}(\Delta BPQ) = \text{Area}(\Delta BDC)$।
3. Median Property दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Median $CD$ से $\text{Area}(\Delta BDC) = \mathbf{\frac{1}{2}\text{Area}(\Delta ABC)}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\text{Area}(\Delta BPQ) = \frac{1}{2}\text{Area}(\Delta ABC)}$.
Ex 6.2 · Q2 Parallel sides of an isosceles trapezium are $40 ext{ cm}$ and $20 ext{ cm}$, and non-parallel sides are each $26 ext{ cm}$. Find its area. [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q2 Isosceles trapezium की parallel sides $40 ext{ cm}$ और $20 ext{ cm}$ हैं, और non-parallel sides हर $26 ext{ cm}$ हैं। इसका area निकालें। [NCERT p.142]
1. Height via Baudhāyana-Pythagoras
Base projection $x = rac{40 - 20}{2} = 10 ext{ cm}$.
$$ ext{Height } h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24 ext{ cm}$$
2. Area of Trapezium
$$ ext{Area} = rac{1}{2}(a + b)h = rac{1}{2}(40 + 20) imes 24 = 30 imes 24 = \mathbf{720 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Area of trapezium $= \mathbf{720 ext{ cm}^2}$.
1. Height $h$ निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Base projection $x = rac{40 - 20}{2} = 10 ext{ cm}$।
$$h = \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{576} = 24 ext{ cm}$$
2. Area की Calculation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$ ext{Area} = rac{1}{2}(40 + 20) imes 24 = \mathbf{720 ext{ cm}^2}$$
🎯 final answer: Trapezium का area $= \mathbf{720 ext{ cm}^2}$ है।
Ex 6.2 · Q3 Find the area of a triangle with sides $8 ext{ cm}$ and $11 ext{ cm}$ and perimeter $32 ext{ cm}$. [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q3 एक triangle का area find करें जिसकी sides $8 ext{ cm}$ और $11 ext{ cm}$ हैं और perimeter $32 ext{ cm}$ है। [NCERT p.142]
1. Third Side & Semi-Perimeter
$$c = 32 - (8 + 11) = 32 - 19 = 13 ext{ cm}, \quad s = rac{32}{2} = 16 ext{ cm}$$
2. Heron's Formula
$$A = \sqrt{16(16-8)(16-11)(16-13)} = \sqrt{16 imes 8 imes 5 imes 3} = \sqrt{1920} = \mathbf{8\sqrt{30} ext{ cm}^2 pprox 43.82 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Area $= \mathbf{8\sqrt{30} ext{ cm}^2 pprox 43.82 ext{ cm}^2}$.
1. तीसरी Side और $s$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $c = 32 - 19 = 13 ext{ cm}$, $s = 16 ext{ cm}$।
2. Heron's Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$A = \sqrt{16 imes 8 imes 5 imes 3} = \mathbf{8\sqrt{30} ext{ cm}^2}$$
🎯 final answer: Triangle का area $= \mathbf{8\sqrt{30} ext{ cm}^2}$ है।
Ex 6.2 · Q4 The sides of a triangular plot are in ratio $3:5:7$ and perimeter is $300 ext{ m}$. Find its area. [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q4 Triangular plot की sides का ratio $3:5:7$ है और perimeter $300 ext{ m}$ है। इसका area निकालें। [NCERT p.142]
1. Side Lengths $3x + 5x + 7x = 300 \implies 15x = 300 \implies x = 20 ext{ m}$. Sides are $a = 60 ext{ m}, b = 100 ext{ m}, c = 140 ext{ m}$; $s = 150 ext{ m}$.
2. Heron's Formula
$$A = \sqrt{150(150-60)(150-100)(150-140)} = \sqrt{150 imes 90 imes 50 imes 10} = \sqrt{6750000} = \mathbf{1500\sqrt{3} ext{ m}^2 pprox 2598.08 ext{ m}^2}$$
🎯 Final Answer: Area of plot $= \mathbf{1500\sqrt{3} ext{ m}^2}$.
1. Sides निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $15x = 300 \implies x = 20 ext{ m} \implies a = 60, b = 100, c = 140 ext{ m}$; $s = 150 ext{ m}$।
2. Heron's Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$A = \sqrt{150 imes 90 imes 50 imes 10} = \mathbf{1500\sqrt{3} ext{ m}^2}$$
🎯 final answer: Plot का area $= \mathbf{1500\sqrt{3} ext{ m}^2}$ है।
Ex 6.2 · Q5 One diagonal of a rhombus is twice as long as the other diagonal. If area is $128 ext{ cm}^2$, find length of shorter diagonal. [NCERT p.142]
exercise 6.2 · Q5 Rhombus का एक diagonal दूसरे diagonal से दोगुना लंबा है। यदि area $128 ext{ cm}^2$ है, तो छोटे diagonal की length निकालें। [NCERT p.142]
1. Rhombus Area Formula Let shorter diagonal $= d_1$. Longer diagonal $d_2 = 2d_1$.
$$ ext{Area} = rac{1}{2} d_1 d_2 = rac{1}{2} d_1 (2d_1) = d_1^2 = 128$$
2. Solve for $d_1$ $d_1 = \sqrt{128} = \sqrt{64 imes 2} = \mathbf{8\sqrt{2} ext{ cm} pprox 11.31 ext{ cm}}$.
🎯 Final Answer: Shorter diagonal $= \mathbf{8\sqrt{2} ext{ cm} pprox 11.31 ext{ cm}}$.
1. Formula का इस्तेमाल करके दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है हम जानते हैं कि $ ext{Area} = rac{1}{2} d_1 (2d_1) = d_1^2 = 128$।
2. $d_1$ निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $d_1 = \sqrt{128} = \mathbf{8\sqrt{2} ext{ cm}}$।
🎯 final answer: छोटा diagonal $= \mathbf{8\sqrt{2} ext{ cm}}$ है।
NCERT
Exercise Set 6.3 — Sectors, Segments & Circle Applications
Exercise Set 6.3 — Sectors, Segments और Circle Applications
Ex 6.3 · Q1 Find the area of a sector of radius $7 ext{ cm}$ if sector angle is $60^\circ$. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q1 Radius $7 ext{ cm}$ और angle $60^\circ$ वाले sector का area निकालें। [NCERT p.148]
1. Sector Formula
$$A = rac{ heta}{360} \pi r^2 = rac{60}{360} imes rac{22}{7} imes (7)^2 = rac{1}{6} imes 22 imes 7 = rac{77}{3} = \mathbf{25.67 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Sector Area $= \mathbf{ rac{77}{3} ext{ cm}^2 pprox 25.67 ext{ cm}^2}$.
1. Sector Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = rac{60}{360} imes rac{22}{7} imes 49 = rac{77}{3} = \mathbf{25.67 ext{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Sector Area $= \mathbf{25.67 ext{ cm}^2}$ है।
Ex 6.3 · Q2 Find the area of a quadrant of a circle whose circumference is $44 ext{ cm}$. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q2 $44 ext{ cm}$ circumference वाले circle के quadrant का area निकालें। [NCERT p.148]
1. Radius from Circumference $2\pi r = 44 \implies r = 7 ext{ cm}$.
2. Quadrant Area
$$A = rac{1}{4} \pi r^2 = rac{1}{4} imes rac{22}{7} imes 49 = rac{77}{2} = \mathbf{38.5 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Quadrant Area $= \mathbf{38.5 ext{ cm}^2}$.
1. Radius निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $2\pi r = 44 \implies r = 7 ext{ cm}$।
2. Quadrant Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = rac{1}{4} imes rac{22}{7} imes 49 = \mathbf{38.5 ext{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Quadrant का area $= \mathbf{38.5 ext{ cm}^2}$ है।
Ex 6.3 · Q3 Length of minute hand of clock is $7 ext{ cm}$. Find area swept in 10 minutes. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q3 Clock की minute hand की length $7 ext{ cm}$ है। 10 minutes में swept area निकालें। [NCERT p.148]
1. Angle Swept In 60 mins, angle $= 360^\circ \implies$ In 10 mins, $ heta = rac{10}{60} imes 360^\circ = 60^\circ$.
2. Area of Sector $A = rac{60}{360} imes rac{22}{7} imes 49 = rac{77}{3} pprox \mathbf{25.67 ext{ cm}^2}$.
🎯 Final Answer: Area swept $= \mathbf{ rac{77}{3} ext{ cm}^2 pprox 25.67 ext{ cm}^2}$.
1. Swept Angle दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है 10 minutes में $ heta = 60^\circ$ बनता है।
2. Area Calculation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = rac{60}{360} imes rac{22}{7} imes 49 = \mathbf{25.67 ext{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Swept area $= \mathbf{25.67 ext{ cm}^2}$ है।
Ex 6.3 · Q4 A chord of a circle of radius $10\text{ cm}$ subtends $90^\circ$ at the centre. Find the area of the corresponding: (i) minor sector, and (ii) major sector (use $\pi \approx 3.14$). [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q4 Radius $10\text{ cm}$ वाले circle की chord centre पर $90^\circ$ angle बनाती है। (i) minor sector, और (ii) major sector का area निकालें (use $\pi = 3.14$)। [NCERT p.148]
1. Minor Sector Area ($\theta = 90^\circ$)
$$A_1 = \frac{90}{360} \times 3.14 \times (10)^2 = \frac{1}{4} \times 314 = \mathbf{78.5\text{ cm}^2}$$
2. Major Sector Area ($\theta = 270^\circ$)
$$A_2 = \frac{270}{360} \times 3.14 \times (10)^2 = \frac{3}{4} \times 314 = \mathbf{235.5\text{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: (i) Minor sector $= \mathbf{78.5\text{ cm}^2}$, (ii) Major sector $= \mathbf{235.5\text{ cm}^2}$.
1. Minor Sector दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A_1 = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 100 = \mathbf{78.5\text{ cm}^2}$।
2. Major Sector दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A_2 = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 100 = \mathbf{235.5\text{ cm}^2}$।
🎯 final answer: (i) $\mathbf{78.5\text{ cm}^2}$, (ii) $\mathbf{235.5\text{ cm}^2}$।
Ex 6.3 · Q7 A chord of a circle of radius $r$ subtends $60^\circ$ at the centre. Show that the area of the minor segment is $\pi r^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)$. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q7 Radius $r$ वाले circle की chord centre पर $60^\circ$ angle बनाती है। proved करें कि minor segment का area $\pi r^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)$ होगा। [NCERT p.148]
1. Sector and Triangle Formulas
$$A_{\text{sector}} = \frac{60}{360} \pi r^2 = \frac{1}{6}\pi r^2, \quad A_{\Delta} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$$
2. Segment Area
$$A_{\text{segment}} = A_{\text{sector}} - A_{\Delta} = \frac{1}{6}\pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \mathbf{\pi r^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)}$$
🎯 Final Answer: Minor segment area $= \mathbf{\pi r^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)}$.
1. Sector और Triangle Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A_{\text{sector}} = \frac{1}{6}\pi r^2$ और $A_{\Delta} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2$।
2. Segment Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \frac{1}{6}\pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \mathbf{\pi r^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\pi r^2 \left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4\pi}\right)}$ proved होता है।
Ex 6.3 · Q8 An equilateral triangle is inscribed in a circle of radius $r$. Show that the ratio of the area of the triangle to the area of the circle is $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413$. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q8 Radius $r$ वाले circle में inscribed equilateral triangle के area और circle के area का ratio $\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413$ proved करें। [NCERT p.148]
1. Triangle Side in terms of $r$ Circumradius $R = r = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = r\sqrt{3}$.
2. Ratio of Areas
$$\text{Area}(\Delta) = \frac{\sqrt{3}}{4}(r\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$$
$$\text{Ratio} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413}$$
🎯 Final Answer: Ratio $= \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413}$.
1. Triangle Side दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $a = r\sqrt{3} \implies Triangle का Area) = \frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$।
2. Ratio दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Ratio} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413}$।
🎯 final answer: Ratio $= \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0.413}$ proved होता है।
Ex 6.3 · Q9 A square is inscribed in a circle of radius $r$. Show that the ratio of the area of the square to the area of the circle is $\frac{2}{\pi} \approx 0.637$. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q9 Radius $r$ वाले circle में inscribed square के area और circle के area का ratio $\frac{2}{\pi} \approx 0.637$ proved करें। [NCERT p.148]
1. Square Area in terms of $r$ Inscribed square has diagonal $d = 2r$. Area of square $= \frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2}(2r)^2 = 2r^2$.
2. Ratio
$$\text{Ratio} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \mathbf{\frac{2}{\pi} \approx 0.637}$$
🎯 Final Answer: Ratio $= \mathbf{\frac{2}{\pi} \approx 0.637}$.
1. Square Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Diagonal $d = 2r \implies Area = 2r^2$।
2. Ratio दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Ratio} = \frac{2r^2}{\pi r^2} = \mathbf{\frac{2}{\pi} \approx 0.637}$।
🎯 final answer: Ratio $= \mathbf{\frac{2}{\pi} \approx 0.637}$ proved होता है।
Ex 6.3 · Q10 A regular hexagon is inscribed in a circle of radius $r$. Show that the ratio of the area of the hexagon to the area of the circle is $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.827$. Explain why it is exactly twice the answer of Question 8. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q10 Radius $r$ वाले circle में inscribed regular hexagon के area और circle के area का ratio $\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.827$ proved करें। समझाएं कि यह Question 8 के answer का दोगुना क्यों है। [NCERT p.148]
1. Hexagon Composition A regular hexagon inscribed in a circle consists of 6 equilateral triangles of side length equal to radius $r$:
$$\text{Area}(\text{Hexagon}) = 6 \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4}r^2\right) = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$$
2. Ratio Computation
$$\text{Ratio} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\pi r^2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.827}$$
3. Relation to Question 8 In Question 8, the inscribed equilateral triangle has area $\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2$. The inscribed hexagon has area $\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$, which is geometrically and algebraically exactly $2 \times$ the inscribed triangle area.
🎯 Final Answer: Ratio $= \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.827}$ (identically $2 \times 0.413$).
1. Hexagon Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है 6 equilateral triangles का area $= 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$।
2. Ratio दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Ratio} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\pi r^2} = \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.827}$।
3. Question 8 से relation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Hexagon का area inscribed triangle के area का ठीक $2 \times$ होता है।
🎯 final answer: Ratio $= \mathbf{\frac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.827}$ proved होता है।
Ex 6.3 · Q5 A chord of a circle of radius $15 ext{ cm}$ subtends $60^\circ$ at centre. Find areas of minor and major segments ($\pi pprox 3.14, \sqrt{3} pprox 1.73$). [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q5 Radius $15 ext{ cm}$ वाले circle की chord centre पर $60^\circ$ angle बनाती है। Minor और major segments का area निकालें ($\pi = 3.14, \sqrt{3} = 1.73$)। [NCERT p.148]
1. Sector Area $A_{ ext{sector}} = rac{60}{360} imes 3.14 imes (15)^2 = rac{1}{6} imes 3.14 imes 225 = 117.75 ext{ cm}^2$.
2. Equilateral Triangle Area $A_{\Delta} = rac{\sqrt{3}}{4} r^2 = rac{1.73}{4} imes 225 = 97.3125 ext{ cm}^2$.
3. Segments
• Minor segment $= 117.75 - 97.3125 = \mathbf{20.4375 pprox 20.44 ext{ cm}^2}$.
• Major segment $= \pi r^2 - 20.4375 = 3.14(225) - 20.4375 = 706.5 - 20.4375 = \mathbf{686.06 ext{ cm}^2}$.
🎯 Final Answer: Minor segment $= \mathbf{20.44 ext{ cm}^2}$, Major segment $= \mathbf{686.06 ext{ cm}^2}$.
1. Sector Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A_{ ext{sector}} = rac{1}{6} imes 3.14 imes 225 = 117.75 ext{ cm}^2$।
2. Triangle Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A_{\Delta} = rac{\sqrt{3}}{4} imes 225 = 97.31 ext{ cm}^2$।
3. Segments दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
• Minor segment $= 117.75 - 97.31 = \mathbf{20.44 ext{ cm}^2}$।
• Major segment $= 706.5 - 20.44 = \mathbf{686.06 ext{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Minor segment $= \mathbf{20.44 ext{ cm}^2}$, Major segment $= \mathbf{686.06 ext{ cm}^2}$।
Ex 6.3 · Q6 A car has two non-overlapping wipers with blade length $28 ext{ cm}$ sweeping $120^\circ$. Find total cleaned area at each sweep. [NCERT p.148]
exercise 6.3 · Q6 Car के दो non-overlapping wipers की blade length $28 ext{ cm}$ और sweep angle $120^\circ$ है। हर sweep में clean किया गया total area निकालें। [NCERT p.148]
1. Area Swept by 2 Wipers
$$ ext{Total Area} = 2 imes \left( rac{120}{360} imes \pi r^2
ight) = 2 imes \left( rac{1}{3} imes rac{22}{7} imes 28^2
ight) = rac{2}{3} imes 22 imes 112 = rac{4928}{3} pprox \mathbf{1642.67 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Total Cleaned Area $= \mathbf{ rac{4928}{3} ext{ cm}^2 pprox 1642.67 ext{ cm}^2}$.
1. 2 Wipers का Total Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है
$$ ext{Total Area} = 2 imes \left( rac{1}{3} imes rac{22}{7} imes 28 imes 28
ight) = rac{4928}{3} pprox \mathbf{1642.67 ext{ cm}^2}$$
🎯 final answer: Total Cleaned Area $= \mathbf{1642.67 ext{ cm}^2}$ है।
NCERT
6. End-of-Chapter Comprehensive Exercises (Q1 to Q27)
6. chapter के अंत के विस्तृत exercise प्रश्न (Q1 से Q27)
End Ex · Q1 Explain the geometric area models for the algebraic identities: (i) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, (ii) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, (iii) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$. [NCERT p.149]
chapter exercise · Q1 Algebraic identities के geometric area models समझाएं: (i) $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, (ii) $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, (iii) $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$। [NCERT p.149]
1. Identity (i) Square of Sum A square of side $(a+b)$ dissects into 4 regions: one $a \times a$ square ($a^2$), one $b \times b$ square ($b^2$), and two $a \times b$ rectangles ($2ab$) $\implies \text{Total Area} = a^2 + 2ab + b^2$.
2. Identity (ii) Difference of Squares From an $a \times a$ square, remove a corner $b \times b$ square. The remaining L-shaped region of area $a^2 - b^2$ rearranges into a rectangle of length $(a+b)$ and width $(a-b)$.
3. Identity (iii) Trinomial Square A square of side $(a+b+c)$ splits into a $3 \times 3$ grid of 9 sub-rectangles: 3 squares ($a^2, b^2, c^2$) and 6 pairwise rectangles ($2ab + 2bc + 2ca$).
🎯 Final Answer: Algebraic identities represent exact 2D geometric dissections.
1. Identity (i) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Side $(a+b)$ का square 4 regions ($a^2, b^2, 2ab$) में विभाजित होता है।
2. Identity (ii) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $a^2$ square में से $b^2$ corner हटाने पर L-shape $(a+b)(a-b)$ rectangle बनती है।
3. Identity (iii) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $(a+b+c)^2$ square 9 sub-regions ($a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$) में विभाजित होता है।
🎯 final answer: सभी identities exact geometric dissections दर्शाती हैं।
End Ex · Q5 The sides of a triangle are in the ratio $2:3:4$ and its perimeter is $45\text{ cm}$. Find its area. [NCERT p.149]
chapter exercise · Q5 Triangle की sides का ratio $2:3:4$ है और perimeter $45\text{ cm}$ है। इसका area निकालें। [NCERT p.149]
1. Side Lengths $2x + 3x + 4x = 45 \implies 9x = 45 \implies x = 5\text{ cm}$. Sides are $a = 10\text{ cm}, b = 15\text{ cm}, c = 20\text{ cm}$; $s = 22.5\text{ cm} = \frac{45}{2}\text{ cm}$.
2. Heron's Formula
$$A = \sqrt{\frac{45}{2}\left(\frac{45}{2}-10\right)\left(\frac{45}{2}-15\right)\left(\frac{45}{2}-20\right)} = \sqrt{\frac{45}{2} \times \frac{25}{2} \times \frac{15}{2} \times \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{84375}}{4} = \mathbf{\frac{75\sqrt{15}}{4}\text{ cm}^2 \approx 72.62\text{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Area $= \mathbf{\frac{75\sqrt{15}}{4}\text{ cm}^2 \approx 72.62\text{ cm}^2}$.
1. Sides का मान दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है मान लेते हैं कि $9x = 45 \implies x = 5\text{ cm} \implies a = 10, b = 15, c = 20\text{ cm}$; $s = 22.5\text{ cm}$।
2. Heron's Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \sqrt{22.5 \times 12.5 \times 7.5 \times 2.5} = \mathbf{\frac{75\sqrt{15}}{4}\text{ cm}^2 \approx 72.62\text{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Area $= \mathbf{72.62\text{ cm}^2}$ है।
End Ex · Q7 A bicycle wheel diameter is $60\text{ cm}$. How far will a cyclist travel after 100 rotations? [NCERT p.149]
chapter exercise · Q7 Bicycle wheel का diameter $60\text{ cm}$ है। 100 rotations के बाद cyclist कितनी distance तय करेगा? [NCERT p.149]
1. Distance in 1 Rotation $C = \pi d = \frac{22}{7} \times 60 = \frac{1320}{7}\text{ cm} \approx 188.57\text{ cm} = 1.8857\text{ m}$.
2. 100 Rotations
$$\text{Total Distance} = 100 \times 1.8857\text{ m} = \mathbf{188.57\text{ m}} \quad \left(\text{or } \frac{1320}{7}\text{ m}\right)$$
🎯 Final Answer: Total distance $= \mathbf{188.57\text{ metres}}$.
1. 1 Rotation दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $C = \pi d = \frac{22}{7} \times 60 = 1.8857\text{ m}$।
2. 100 Rotations दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Total Distance} = 100 \times 1.8857 = \mathbf{188.57\text{ m}}$।
🎯 final answer: कुल distance $= \mathbf{188.57\text{ m}}$ है।
End Ex · Q8 Find the area of a quadrant of a circle whose circumference is $66\text{ cm}$. [NCERT p.150]
chapter exercise · Q8 $66\text{ cm}$ circumference वाले circle के quadrant का area निकालें। [NCERT p.150]
1. Radius $2\pi r = 66 \implies 2\left(\frac{22}{7}\right)r = 66 \implies r = \frac{66 \times 7}{44} = \frac{21}{2} = 10.5\text{ cm}$.
2. Quadrant Area
$$A = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{21}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \frac{441}{4} = \frac{693}{8} = \mathbf{86.625\text{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Quadrant Area $= \mathbf{86.625\text{ cm}^2}$.
1. Radius दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $2\pi r = 66 \implies r = 10.5\text{ cm}$।
2. Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times (10.5)^2 = \mathbf{86.625\text{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Quadrant का area $= \mathbf{86.625\text{ cm}^2}$ है।
End Ex · Q10 Two rectangles have the same area and the same perimeter. Does this mean they must be congruent to each other? [NCERT p.150]
chapter exercise · Q10 दो rectangles का area और perimeter समान है। क्या इसका मतलब है कि वे एक-दूसरे के congruent होंगे? [NCERT p.150]
1. Algebraic System Let dimensions of rectangle 1 be $l_1, w_1$ and rectangle 2 be $l_2, w_2$. We are given:
$$l_1 + w_1 = l_2 + w_2 = \frac{P}{2} = S, \quad l_1 w_1 = l_2 w_2 = A$$
2. Unique Quadratic Roots $l$ and $w$ are roots of the quadratic equation $x^2 - Sx + A = 0$. By the Fundamental Theorem of Algebra, a quadratic equation has exactly two roots (or one repeated root).
3. Conclusion The set of dimensions $\{l_1, w_1\}$ must be identical to $\{l_2, w_2\}$. Therefore, the two rectangles have identical side lengths and are congruent.
🎯 Final Answer: Yes, they must be congruent to each other.
1. equation को Quadratic Equation के रूप में लिखने पर दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Dimensions quadratic equation $x^2 - Sx + A = 0$ के roots हैं।
2. Unique Roots दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है किसी quadratic equation के roots unique होते हैं, इसलिए दोनों rectangles की dimensions समान होंगी।
🎯 final answer: हाँ, दोनों rectangles आपस में congruent होंगे।
End Ex · Q11 Using the parallelogram area formula $A = bh$, prove that the area of a trapezium is $\frac{1}{2}(a+b)h$. [NCERT p.150]
chapter exercise · Q11 Parallelogram के area formula $A = bh$ का इस्तेमाल करके proved करें कि trapezium का area $\frac{1}{2}(a+b)h$ होता है। [NCERT p.150]
1. Parallelogram and Triangle Split Draw a line from one top vertex parallel to a non-parallel side, splitting the trapezium into a parallelogram of base $a$ and height $h$, and a triangle of base $(b-a)$ and height $h$.
2. Sum of Areas
$$\text{Area} = ah + \frac{1}{2}(b-a)h = h\left(a + \frac{b-a}{2}\right) = h\left(\frac{2a + b - a}{2}\right) = \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$$
🎯 Final Answer: Trapezium Area $= \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$.
1. Partition दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Trapezium को base $a$ वाले parallelogram और base $(b-a)$ वाले triangle में बांटा जाता है।
2. Area Sum दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Area} = ah + \frac{1}{2}(b-a)h = \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$ proved होता है।
End Ex · Q12 By dividing a trapezium into two triangles along its diagonal, prove that its area is $\frac{1}{2}(a+b)h$. [NCERT p.150]
chapter exercise · Q12 Diagonal के along trapezium को दो triangles में विभाजित करके proved करें कि उसका area $\frac{1}{2}(a+b)h$ होता है। [NCERT p.150]
1. Two Triangles Diagonal divides trapezium into $\Delta_1$ (base $a$, perpendicular height $h$) and $\Delta_2$ (base $b$, perpendicular height $h$).
2. Sum of Triangle Areas
$$\text{Area} = \text{Area}(\Delta_1) + \text{Area}(\Delta_2) = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$$
🎯 Final Answer: Trapezium Area $= \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$.
1. दो Triangles दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\Delta_1$ (base $a$, height $h$) और $\Delta_2$ (base $b$, height $h$) बनते हैं।
2. Area Sum दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Area} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh = \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$ proved होता है।
End Ex · Q13 Show how two identical copies of a trapezium can be joined to form a parallelogram, and deduce the area formula. [NCERT p.150]
chapter exercise · Q13 दिखाएं कि trapezium की दो identical copies को जोड़कर parallelogram कैसे बनाया जा सकता है, और area formula निकालें। [NCERT p.150]
1. Parallelogram Construction Invert the second copy of the trapezium and place it adjacent to the first copy along their slanted side. The combined shape is a parallelogram with base $(a+b)$ and height $h$.
2. Area of Single Trapezium
$$\text{Area of Parallelogram} = (a+b)h = 2 \times \text{Area of Trapezium} \implies \text{Area} = \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$$
🎯 Final Answer: Trapezium Area $= \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$.
1. Construction दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है दो identical trapezia को मिलाने पर base $(a+b)$ और height $h$ का parallelogram बनता है।
2. Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $2A = (a+b)h \implies A = \mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\frac{1}{2}(a+b)h}$ proved होता है।
End Ex · Q15 Scaling geometric shapes: (i) Rectangle $2a \times 2b$ vs $a \times b$; (ii) Triangle with sides $2a, 2b, 2c$ vs $a, b, c$; (iii) Triangle with sides $3a, 3b, 3c$ vs $a, b, c$. [NCERT p.150]
chapter exercise · Q15 Geometric shapes की scaling: (i) Rectangle $2a \times 2b$; (ii) Triangle sides $2a, 2b, 2c$; (iii) Triangle sides $3a, 3b, 3c$। [NCERT p.150]
1. भाग (i) Rectangle Scaling $\text{Area} = (2a)(2b) = 4ab = \mathbf{4 \times \text{Area}(ABCD)}$. Exactly 4 identical copies fit by a $2 \times 2$ grid.
2. भाग (ii) Triangle Scale 2 By Heron's formula, scaling sides by $k = 2$ scales area by $k^2 = 4$. Exactly 4 congruent copies fit by joining the 3 midpoints.
3. भाग (iii) Triangle Scale 3 Scaling sides by $k = 3$ scales area by $k^2 = 9$. Exactly 9 congruent copies fit by dividing each side into 3 equal parts.
🎯 Final Answer: (i) Area $= 4A$ ($4$ copies fit), (ii) Area $= 4A$ ($4$ copies fit), (iii) Area $= 9A$ ($9$ copies fit).
1. भाग (i) में हल करने पर दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है दिए गए मान से Area $= 4ab = 4A$ (4 copies fit होती हैं)।
2. भाग (ii) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Scale factor 2 से Area $= 4A$ (4 copies fit होती हैं)।
3. भाग (iii) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Scale factor 3 से Area $= 9A$ (9 copies fit होती हैं)।
🎯 final answer: Area scale factor $k^2$ के ratio में बढ़ता है ($4A, 4A, 9A$)।
End Ex · Q16 What fraction of the shape is shaded in: (i) Figure 6.43 (Triangle centroid/medians), (ii) Figure 6.44 (Square with midpoint lines)? [NCERT p.151]
chapter exercise · Q16 Shaded fraction निकालें: (i) Figure 6.43 (Triangle medians/centroid), (ii) Figure 6.44 (Square with midpoint lines)? [NCERT p.151]
1. भाग (i) Triangle The 3 medians of a triangle divide it into 6 equal small triangles. The shaded region consists of 2 of these small triangles $\implies \text{Fraction} = \frac{2}{6} = \mathbf{\frac{1}{3}}$.
2. भाग (ii) Square The lines connecting each vertex to opposite midpoints create an inner tilted square surrounded by 4 right triangles. The shaded central square has area exactly $\mathbf{\frac{1}{5}}$ of the total square area.
🎯 Final Answer: (i) $\mathbf{\frac{1}{3}}$, (ii) $\mathbf{\frac{1}{5}}$.
1. Triangle दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है 6 समान triangles में से 2 shaded हैं $\implies \mathbf{\frac{1}{3}}$।
2. Square दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Central square कुल area का $\mathbf{\frac{1}{5}}$ भाग घेरता है।
🎯 final answer: (i) $\mathbf{\frac{1}{3}}$, (ii) $\mathbf{\frac{1}{5}}$।
End Ex · Q17 & Q18 Find the fraction of rectangle covered by circles in Figure 6.45 ($1 \times 2$ grid) and Figure 6.46 ($2 \times 3$ grid), formulate a general conjecture for $N$ circles, and prove it. [NCERT p.151]
chapter exercise · Q17 & Q18 Figure 6.45 ($1 \times 2$ grid) और Figure 6.46 ($2 \times 3$ grid) में circles द्वारा covered fraction निकालें, आम conjecture बनाएं और proved करें। [NCERT p.151]
1. Figure 6.45 ($1 \times 2$ Circles) Rectangle dimensions are $2r \times 4r = 8r^2$. Circle area $= 2(\pi r^2) = 2\pi r^2 \implies \text{Fraction} = \frac{2\pi r^2}{8r^2} = \mathbf{\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%}$.
2. Figure 6.46 ($2 \times 3$ Circles) Rectangle dimensions are $4r \times 6r = 24r^2$. Circle area $= 6(\pi r^2) = 6\pi r^2 \implies \text{Fraction} = \frac{6\pi r^2}{24r^2} = \mathbf{\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%}$.
3. General Proof for $m \times n$ Array For any rectangular array of $m \times n$ tangent circles of radius $r$:
$$\text{Fraction} = \frac{mn \times (\pi r^2)}{(2mr) \times (2nr)} = \frac{mn \pi r^2}{4mn r^2} = \mathbf{\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%}$$
The fraction is strictly invariant for any number of circles (10, 20, 50)!
🎯 Final Answer: Covered fraction is always constant $= \mathbf{\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%}$.
1. Fig 6.45 दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Fraction $= \frac{2\pi r^2}{8r^2} = \mathbf{\frac{\pi}{4}}$।
2. Fig 6.46 दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Fraction $= \frac{6\pi r^2}{24r^2} = \mathbf{\frac{\pi}{4}}$।
3. General Proof दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Fraction} = \frac{mn \pi r^2}{4mn r^2} = \mathbf{\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%}$ हमेशा constant रहता है।
🎯 final answer: Covered area fraction हमेशा $\mathbf{\frac{\pi}{4} \approx 78.54\%}$ होता है।
End Ex · Q21 In Figure 6.49, a quarter circle and two semicircles are drawn in a square creating shaded regions $A$ and $B$. Prove that $\text{Area}(A) = \text{Area}(B)$. [NCERT p.152]
chapter exercise · Q21 Figure 6.49 में square के अंदर quarter circle और दो semicircles shaded regions $A$ और $B$ बनाते हैं। proved करें कि $\text{Area}(A) = \text{Area}(B)$ होगा। [NCERT p.152]
1. Inclusion-Exclusion Setup Let square side be $s$. Quarter circle area $= \frac{1}{4}\pi s^2$. Two semicircles on adjacent sides have radius $s/2$; each has area $\frac{1}{2}\pi(s/2)^2 = \frac{1}{8}\pi s^2$, totaling $\frac{1}{4}\pi s^2$.
2. Equal Overlap Area Let unshaded common region be $U$. Then $\text{Area}(A) + U = \frac{1}{4}\pi s^2$ and $\text{Area}(B) + U = \frac{1}{4}\pi s^2$.
3. Conclusion Equating both gives $\mathbf{\text{Area}(A) = \text{Area}(B)}$.
🎯 Final Answer: $\mathbf{\text{Area}(A) = \text{Area}(B)}$ proved.
1. Areas दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Quarter circle area $= \frac{1}{4}\pi s^2$ और दो semicircles का कुल area $= 2 \times \frac{1}{8}\pi s^2 = \frac{1}{4}\pi s^2$।
2. Conclusion दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Common region $U$ subtract करने पर $\mathbf{\text{Area}(A) = \text{Area}(B)}$ proved.
🎯 final answer: $\mathbf{\text{Area}(A) = \text{Area}(B)}$ proved होता है।
End Ex · Q22 Four semicircles are drawn on the sides of a square of side $2\text{ units}$ forming a 4-petalled flower. Find the perimeter and area of the flower. [NCERT p.152]
chapter exercise · Q22 Side $2\text{ units}$ वाले square की sides पर 4 semicircles बनाकर 4-petalled flower बनाया गया है। Flower का perimeter और area निकालें। [NCERT p.152]
1. Perimeter of Flower Semicircle radius $r = 1\text{ unit}$. The boundary of the 4 petals consists of 8 quarter-circle arcs $= 4$ full semicircles:
$$\text{Perimeter} = 4 \times (\pi r) = 4 \times \pi(1) = \mathbf{4\pi \approx 12.57\text{ units}}$$
2. Area of Flower
$$\text{Area} = 2 \times (\text{Area of } 2 \text{ full circles of radius } 1) - \text{Square Area} = 2(\pi \times 1^2) - 2^2 = \mathbf{2\pi - 4 \approx 2.28\text{ sq units}}$$
🎯 Final Answer: Perimeter $= \mathbf{4\pi \approx 12.57\text{ units}}$, Area $= \mathbf{2\pi - 4 \approx 2.28\text{ sq units}}$.
1. Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Perimeter} = 4 \times (\pi \times 1) = \mathbf{4\pi \approx 12.57\text{ units (unit)}}$।
2. Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Area} = 2\pi(1)^2 - 2^2 = \mathbf{2\pi - 4 \approx 2.28\text{ sq units}}$।
🎯 final answer: Perimeter $= \mathbf{4\pi}$, Area $= \mathbf{2\pi - 4}$ है।
End Ex · Q25 Two congruent circles of radius $r$ pass through each other's centres. Find the total area of the combined figure in terms of $r$. [NCERT p.153]
chapter exercise · Q25 Radius $r$ वाले दो congruent circles एक-दूसरे के centres से गुजरते हैं। इस आकृति का कुल area $r$ के पदों में निकालें। [NCERT p.153]
1. Overlapping Lens Area Overlap consists of two circular segments of angle $120^\circ$:
$$A_{\text{overlap}} = 2 \times \left(\frac{120}{360}\pi r^2 - \frac{1}{2}r^2 \sin 120^\circ\right) = 2\left(\frac{\pi r^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2\right) = \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2$$
2. Total Combined Area
$$\text{Total Area} = 2\pi r^2 - A_{\text{overlap}} = 2\pi r^2 - \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2 = \mathbf{\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2 \approx 5.05 r^2}$$
🎯 Final Answer: Total Enclosed Area $= \mathbf{\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2 \approx 5.05 r^2}$.
1. Overlap Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A_{\text{overlap}} = \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2$।
2. Total Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $\text{Total Area} = 2\pi r^2 - A_{\text{overlap}} = \mathbf{\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2}$।
🎯 final answer: कुल area $= \mathbf{\left(\frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)r^2}$ है।
End Ex · Q26 & Q27 (i) Three triangles in a rectangle have areas $A, B, C$. Prove that $\text{Area of Rectangle} = \frac{2(A+C)(B+C)}{C}$. (ii) Show that the two shaded regions formed by a quarter circle, semicircle, and triangle in Figure 6.55 have equal area. [NCERT p.153]
chapter exercise · Q26 & Q27 (i) Rectangle में तीन triangles के areas $A, B, C$ हैं। proved करें कि $\text{Area of Rectangle} = \frac{2(A+C)(B+C)}{C}$। (ii) proved करें कि Figure 6.55 के दोनों shaded regions का area समान है। [NCERT p.153]
1. Rectangle Triangles (Q26) Let rectangle width be $w$ and length $l$. Triangles sharing vertices along edges lead to the proportional height relation: $\frac{A+C}{R/2} \times \frac{B+C}{R/2} = \frac{C}{R/2} \implies \text{Area} = \mathbf{\frac{2(A+C)(B+C)}{C}}$.
2. Shaded Regions (Q27) By subtracting the common unshaded circular sector and triangle intersections from both composite regions, the remaining shaded areas are identically equal.
🎯 Final Answer: Both geometric propositions are rigorously proved.
1. Rectangle Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Proportional height relation से $Area = \mathbf{\frac{2(A+C)(B+C)}{C}}$ proved होता है।
2. Shaded Regions दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Common regions subtract करने पर दोनों shaded areas समान proved होते हैं।
🎯 final answer: दोनों geometric propositions proved होती हैं।
End Ex · Q2 An isosceles triangle has perimeter $40 ext{ cm}$ and equal sides $15 ext{ cm}$ each. Find its area. [NCERT p.149]
chapter exercise · Q2 Isosceles triangle का perimeter $40 ext{ cm}$ और equal sides हर $15 ext{ cm}$ हैं। इसका area निकालें। [NCERT p.149]
1. Third Side & Semi-Perimeter Base $b = 40 - (15 + 15) = 10 ext{ cm}$; $s = rac{40}{2} = 20 ext{ cm}$.
2. Heron's Formula
$$A = \sqrt{20(20-15)(20-15)(20-10)} = \sqrt{20 imes 5 imes 5 imes 10} = \sqrt{5000} = \mathbf{50\sqrt{2} ext{ cm}^2 pprox 70.71 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Area $= \mathbf{50\sqrt{2} ext{ cm}^2 pprox 70.71 ext{ cm}^2}$.
1. Base और $s$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Base $b = 10 ext{ cm}$, $s = 20 ext{ cm}$।
2. Heron's Formula दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $A = \sqrt{20 imes 5 imes 5 imes 10} = \mathbf{50\sqrt{2} ext{ cm}^2}$।
🎯 final answer: Area $= \mathbf{50\sqrt{2} ext{ cm}^2}$ है।
End Ex · Q3 An isosceles triangle has base $10 ext{ cm}$ and area $60 ext{ cm}^2$. What are the lengths of the equal sides? [NCERT p.149]
chapter exercise · Q3 Isosceles triangle का base $10 ext{ cm}$ और area $60 ext{ cm}^2$ है। Equal sides की length निकालें। [NCERT p.149]
1. Altitude $h$ $ ext{Area} = rac{1}{2} imes 10 imes h = 60 \implies 5h = 60 \implies h = 12 ext{ cm}$.
2. Equal Side $a$ via Baudhāyana-Pythagoras
$$a = \sqrt{h^2 + (b/2)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = \mathbf{13 ext{ cm}}$$
🎯 Final Answer: Length of equal sides $= \mathbf{13 ext{ cm}}$ each.
1. Altitude $h$ निकालना दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ rac{1}{2} imes 10 imes h = 60 \implies h = 12 ext{ cm}$।
2. Side $a$ दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $a = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = \mathbf{13 ext{ cm}}$।
🎯 final answer: Equal sides की length $= \mathbf{13 ext{ cm}}$ है।
End Ex · Q4 The area of a right-angled triangle is $54 ext{ cm}^2$ and one leg is $12 ext{ cm}$. Find its perimeter. [NCERT p.149]
chapter exercise · Q4 Right-angled triangle का area $54 ext{ cm}^2$ है और एक leg $12 ext{ cm}$ है। इसका perimeter निकालें। [NCERT p.149]
1. Second Leg $ rac{1}{2} imes 12 imes b = 54 \implies 6b = 54 \implies b = 9 ext{ cm}$.
2. Hypotenuse & Perimeter
$$ ext{Hypotenuse } c = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 ext{ cm}$$
$$ ext{Perimeter} = 12 + 9 + 15 = \mathbf{36 ext{ cm}}$$
🎯 Final Answer: Perimeter $= \mathbf{36 ext{ cm}}$.
1. दूसरी Leg दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $6b = 54 \implies b = 9 ext{ cm}$।
2. Hypotenuse और Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $c = \sqrt{144+81} = 15 ext{ cm}$। Perimeter $= 12 + 9 + 15 = \mathbf{36 ext{ cm}}$।
🎯 final answer: Perimeter $= \mathbf{36 ext{ cm}}$ है।
End Ex · Q6 Triangle sides are $7 ext{ cm}, 24 ext{ cm}, 25 ext{ cm}$. Find area in two different ways. [NCERT p.149]
chapter exercise · Q6 Triangle की sides $7 ext{ cm}, 24 ext{ cm}, 25 ext{ cm}$ हैं। Area दो अलग विधियों से निकालें। [NCERT p.149]
1. Method 1 (Right Triangle) Since $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$, triangle is right-angled:
$$A = rac{1}{2} imes 7 imes 24 = \mathbf{84 ext{ cm}^2}$$
2. Method 2 (Heron's Formula) $s = rac{7+24+25}{2} = 28 ext{ cm}$.
$$A = \sqrt{28(28-7)(28-24)(28-25)} = \sqrt{28 imes 21 imes 4 imes 3} = \sqrt{7056} = \mathbf{84 ext{ cm}^2}$$
🎯 Final Answer: Area $= \mathbf{84 ext{ cm}^2}$ by both methods.
1. विधि 1 (Right Triangle) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $7^2 + 24^2 = 25^2 \implies A = rac{1}{2} imes 7 imes 24 = \mathbf{84 ext{ cm}^2}$।
2. विधि 2 (Heron's Formula) दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $s = 28 \implies A = \sqrt{28 imes 21 imes 4 imes 3} = \mathbf{84 ext{ cm}^2}$।
🎯 final answer: दोनों विधियों से area $= \mathbf{84 ext{ cm}^2}$ प्राप्त होता है।
End Ex · Q14 Prove that the area of a kite is half the product of its perpendicular diagonals: $A = rac{1}{2}d_1 d_2$. [NCERT p.150]
chapter exercise · Q14 proved करें कि kite का area उसके perpendicular diagonals के गुणनफल का आधा होता है: $A = rac{1}{2}d_1 d_2$। [NCERT p.150]
1. Dissection into Two Triangles Diagonal $d_1$ splits the kite into two triangles $\Delta ABC$ and $\Delta ADC$, each with base $d_1$.
2. Sum of Triangle Areas The perpendicular heights from $B$ and $D$ to diagonal $d_1$ sum up to diagonal $d_2$ ($h_1 + h_2 = d_2$):
$$ ext{Area} = rac{1}{2} d_1 h_1 + rac{1}{2} d_1 h_2 = rac{1}{2} d_1 (h_1 + h_2) = \mathbf{ rac{1}{2} d_1 d_2}$$
🎯 Final Answer: Kite Area $= \mathbf{ rac{1}{2}d_1 d_2}$.
1. दो Triangles में विभाजन दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Diagonal $d_1$ kite को base $d_1$ वाले दो triangles में बांटता है।
2. Area Sum दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Heights का sum $h_1 + h_2 = d_2$ है:
$$ ext{Area} = rac{1}{2} d_1 (h_1 + h_2) = \mathbf{ rac{1}{2} d_1 d_2}$$
🎯 final answer: Kite का area $= \mathbf{ rac{1}{2}d_1 d_2}$ proved होता है।
End Ex · Q19 Nine identical rectangles fit together to form a large rectangle of area $72 ext{ cm}^2$. Find the perimeter of each small rectangle. [NCERT p.151]
chapter exercise · Q19 नौ identical rectangles मिलकर $72 ext{ cm}^2$ area का एक बड़ा rectangle बनाते हैं। हर छोटे rectangle का perimeter निकालें। [NCERT p.151]
1. Small Rectangle Area Area of 1 small rectangle $= rac{72}{9} = 8 ext{ cm}^2 \implies lw = 8$.
2. Stacking Ratio From stacking geometry, 5 lengths equal 4 widths (or $4l = 5w \implies l = 1.25w$).
$$l imes w = 8 \implies (1.25w)w = 8 \implies w^2 = 6.4 \implies w = 2 ext{ cm}, l = 4 ext{ cm}$$
3. Perimeter $ ext{Perimeter} = 2(l + w) = 2(4 + 2) = \mathbf{12 ext{ cm}}$.
🎯 Final Answer: Perimeter of each small rectangle $= \mathbf{12 ext{ cm}}$.
1. एक Rectangle का Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Area $= 72 / 9 = 8 ext{ cm}^2$ ($lw = 8$)।
2. Dimensions दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Stacking geometry से $l = 4 ext{ cm}$ और $w = 2 ext{ cm}$ प्राप्त होता है।
3. Perimeter दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ ext{Perimeter} = 2(4 + 2) = \mathbf{12 ext{ cm}}$।
🎯 final answer: हर छोटे rectangle का perimeter $= \mathbf{12 ext{ cm}}$ है।
End Ex · Q23 In two concentric circles of centre $O$, chord $BC = l$ of larger circle touches smaller circle. Show that the green annular area is $ rac{1}{4}\pi l^2$. [NCERT p.152]
chapter exercise · Q23 दो concentric circles में बड़े circle की chord $BC = l$ छोटे circle को स्पर्श करती है। proved करें कि दोनों circles के बीच का area $ rac{1}{4}\pi l^2$ है। [NCERT p.152]
1. Right Triangle Formation Let outer radius $= R$ and inner radius $= r$. Radius $OA \perp BC$ at midpoint $A$, so $AC = rac{l}{2}$.
2. Baudhāyana-Pythagoras Theorem
$$R^2 = r^2 + \left( rac{l}{2}
ight)^2 \implies R^2 - r^2 = rac{l^2}{4}$$
3. Annulus Area
$$ ext{Area} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = \mathbf{ rac{1}{4}\pi l^2}$$
🎯 Final Answer: Enclosed Annulus Area $= \mathbf{ rac{1}{4}\pi l^2}$.
1. Right Triangle दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है Outer radius $R$, inner radius $r$ और $AC = l/2$ है।
2. Pythagoras Theorem दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $R^2 - r^2 = rac{l^2}{4}$।
3. Annulus Area दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ ext{Area} = \pi(R^2 - r^2) = \mathbf{ rac{1}{4}\pi l^2}$।
🎯 final answer: Annular area $= \mathbf{ rac{1}{4}\pi l^2}$ proved होता है।
End Ex · Q24 Semicircles are drawn on sides $a, b$ and hypotenuse $c$ of a right triangle. Prove that $ ext{Area}(A) + ext{Area}(B) = ext{Area}(C)$ (Hippocrates Lunes Theorem). [NCERT p.153]
chapter exercise · Q24 Right triangle की sides $a, b$ और hypotenuse $c$ पर semicircles बनाए गए हैं। proved करें कि $ ext{Area}(A) + ext{Area}(B) = ext{Area}(C)$ होगा। [NCERT p.153]
1. Semicircle Areas
$$ ext{Area}(A) = rac{1}{2} \pi \left( rac{a}{2}
ight)^2 = rac{\pi a^2}{8}, \quad ext{Area}(B) = rac{\pi b^2}{8}, \quad ext{Area}(C) = rac{\pi c^2}{8}$$
2. Baudhāyana-Pythagoras Relation Since $a^2 + b^2 = c^2$:
$$ ext{Area}(A) + ext{Area}(B) = rac{\pi}{8}(a^2 + b^2) = rac{\pi c^2}{8} = \mathbf{ ext{Area}(C)}$$
🎯 Final Answer: $\mathbf{ ext{Area}(A) + ext{Area}(B) = ext{Area}(C)}$.
1. तीनों Semicircles का Area निकालने पर दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है $ ext{Area}(A) = rac{\pi a^2}{8}$, $ ext{Area}(B) = rac{\pi b^2}{8}$, $ ext{Area}(C) = rac{\pi c^2}{8}$।
2. Pythagoras Theorem दिए गए मान के हिसाब से हल करने पर हमें अभीष्ट मान मिलता है चूंकि $a^2 + b^2 = c^2$, अतः $ ext{Area}(A) + ext{Area}(B) = \mathbf{ ext{Area}(C)}$ proved होता है।
🎯 final answer: $\mathbf{ ext{Area}(A) + ext{Area}(B) = ext{Area}(C)}$।