Chapter 01 · Ganita Manjari (NEP 2026)

Orienting Yourself: The Use of Coordinates Orienting Yourself: The Use of Coordinates (Coordinates का Use)

Master Cartesian coordinates, 2D planes, quadrants, distances, and complete step-by-step NCERT exercise solutions. Cartesian coordinates, 2D plane, चारों quadrants, distance calculation, और सभी NCERT exercise solutions को step-by-step समझें।

1. From 1D Line to 2D Plane: The Coordinate System 1. 1D Line से 2D Plane तक: Coordinate System की ज़रूरत

Section Goal: Understand why a single number is not enough to pinpoint a location on a flat surface, how two perpendicular number lines create the Cartesian plane, and how coordinates $(x, y)$ describe exact positions. Section Goal: यह समझें कि flat surface पर किसी position को दर्शाने के लिए केवल एक संख्या पर्याप्त क्यों नहीं है, दो perpendicular lines मिलकर Cartesian plane कैसे बनाती हैं, और $(x, y)$ exact position कैसे दर्शाते हैं।

🗺️ The Classroom Desk & City Street Analogy 🗺️ कक्षा की बेंच और शहर की सड़कों का example

On a straight running track (1D), telling someone "I am at the 50 m mark" is enough. But inside a classroom with rows and columns of desks (2D), saying "I am on desk 4" is incomplete! You must state both: Column 3, Row 4. That pair of numbers is precisely what we call coordinates [NCERT p.1]. एक सीधी दौड़ पट्टी (1D track) पर केवल "मैं 50 m mark पर हूँ" कहना काफी है। लेकिन classroom की benches (2D) में केवल "मैं desk 4 पर हूँ" कहना अधूरा है! आपको दोनों बताना होगा: Column 3, Row 4। इसी pair of numbers को हम coordinates कहते हैं [NCERT p.1]।

To locate any point on a flat plane, we use two mutually perpendicular number lines that intersect at their zero points [NCERT p.2]: किसी flat plane पर किसी भी point की position determine करने के लिए, हम दो perpendicular number lines का इस्तेमाल करते हैं जो अपने zero पर intersect करती हैं [NCERT p.2]:

The Horizontal Line ($x$-axis): Numbers to the right of the origin $O$ are positive; numbers to the left are negative [NCERT p.3]. Horizontal Line ($x$-axis): Origin $O$ के right side की numbers positive और left side की numbers negative होती हैं [NCERT p.3]।
The Vertical Line ($y$-axis): Numbers above the origin $O$ are positive; numbers below the origin are negative [NCERT p.3]. Vertical Line ($y$-axis): Origin $O$ के ऊपर (above) की numbers positive और नीचे (below) की numbers negative होती हैं [NCERT p.3]।
The Origin $O(0, 0)$: The point of intersection of both axes where both $x = 0$ and $y = 0$ [NCERT p.4]. Origin $O(0, 0)$: दोनों axes का intersection point जहाँ $x = 0$ और $y = 0$ दोनों होते हैं [NCERT p.4]।

Figure 1.1 — The Cartesian Coordinate Plane, Coordinate Axes, Origin $O(0,0)$, and the Four Quadrants. Adapted from NCERT Fig. 1.2 & 1.4.

Coordinates of a Point: Abscissa and Ordinate Point के Coordinates: Abscissa और Ordinate

For any point $P(x, y)$ in the plane [NCERT p.6]: Plane में किसी भी point $P(x, y)$ के लिए [NCERT p.6]:

$x$-coordinate (Abscissa): Perpendicular distance of point $P$ from the $y$-axis, measured along the $x$-axis. $x$-coordinate (Abscissa): Point $P$ की $y$-axis से perpendicular distance, जिसे $x$-axis के along measure किया जाता है।
$y$-coordinate (Ordinate): Perpendicular distance of point $P$ from the $x$-axis, measured along the $y$-axis. $y$-coordinate (Ordinate): Point $P$ की $x$-axis से perpendicular distance, जिसे $y$-axis के along measure किया जाता है।
Order Matters: $(x, y) \neq (y, x)$ unless $x = y$. For example, $(3, -5)$ is in Quadrant IV, whereas $(-5, 3)$ is in Quadrant II [NCERT p.7]! Order का महत्व: $(x, y) \neq (y, x)$ जब तक कि $x = y$ न हो। Example के लिए, $(3, -5)$ Quadrant IV में है, जबकि $(-5, 3)$ Quadrant II में है [NCERT p.7]!

⚡ Quick Concept Check

Q: In which quadrant does the point $(-4, -7)$ lie?

3. Master Formula Sheet & Coordinate Properties 3. Master Formula Sheet और Important Coordinate Properties

1. Points on Coordinate Axes

$$\text{On } x\text{-axis: } (x, 0)$$ $$\text{On } y\text{-axis: } (0, y)$$

$y$-coordinate on the $x$-axis is always $0$. $x$-coordinate on the $y$-axis is always $0$ [NCERT p.4].

2. Distance: Parallel to Axes

$$d_x = |x_2 - x_1| \quad (\text{same } y)$$ $$d_y = |y_2 - y_1| \quad (\text{same } x)$$

Distance between points along horizontal or vertical segments [NCERT p.15].

3. Distance Formula (Baudhāyana-Pythagoras)

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ $$d_{\text{origin}} = \sqrt{x^2 + y^2}$$

Calculates straight-line distance between any two points [NCERT p.10, 15].

4. Midpoint Formula

$$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$

Coordinates of the exact center point of segment $AB$ [NCERT p.13].

5. Reflection in Axes (Mirror Images)

$$\text{In } x\text{-axis: } (x, y) \to (x, -y)$$ $$\text{In } y\text{-axis: } (x, y) \to (-x, y)$$

Reflection preserves side lengths and distances [NCERT p.11].

6. Collinearity Test (Slope/Ratio)

$$\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{y_3 - y_2}{x_3 - x_2}$$

Three points lie on the same line if slope ratios are identical [NCERT p.12].

4. Complete NCERT Exercise Solutions (Step-by-Step) 4. सम्पूर्ण NCERT Solutions (Step-by-Step)

NCERT Exercise Set 1.1 — Reiaan's Room Coordinates Exercise Set 1.1 — रेहान के कमरे के Coordinates

Referring to NCERT Fig. 1.3 (Reiaan's room with corners $OABC$, Origin $O(0,0)$ at bottom-left corner).

Q(i). If $D_1R_1$ represents the door to Reiaan’s room, how far is the door from the left wall (the $y$-axis) of the room? How far is the door from the $x$-axis? [NCERT p.5] Q(i). अगर $D_1R_1$ रेहान के कमरे का door represent करता है, तो door कमरे की left wall ($y$-axis) से कितनी distance पर है? और door $x$-axis से कितनी distance पर है? [NCERT p.5]

1. Identification The left wall lies on the $y$-axis ($x = 0$) and the bottom wall lies on the $x$-axis ($y = 0$). Door $D_1R_1$ starts at $D_1(8.5, 0)$ and ends at $R_1(11.5, 0)$.

2. Distances • Distance from left wall ($y$-axis) $= x$-coordinate of $D_1 = \mathbf{8.5 ext{ units}}$.
• Distance from bottom wall ($x$-axis) $= y$-coordinate of $D_1 = \mathbf{0 ext{ units}}$ (on the $x$-axis itself).

🎯 Final Answer: The door is $8.5 ext{ units}$ from the left wall and $0 ext{ units}$ from the $x$-axis.

1. Identification (पहचान) कमरे की left wall $y$-axis ($x = 0$) पर है और bottom wall $x$-axis ($y = 0$) पर है। Door $D_1(8.5, 0)$ से $R_1(11.5, 0)$ तक फैला है।

2. Distance Calculation • Left wall ($y$-axis) से distance $= D_1$ का $x$-coordinate $= \mathbf{8.5 ext{ units}}$।
• Bottom wall ($x$-axis) से distance $= D_1$ का $y$-coordinate $= \mathbf{0 ext{ units}}$ (क्योंकि door सीधे $x$-axis पर स्थित है)।

🎯 Final Answer: Door left wall से $8.5 ext{ units}$ और $x$-axis से $0 ext{ units}$ की distance पर है।

Q(ii). What are the coordinates of $D_1$? [NCERT p.5] Q(ii). Point $D_1$ के coordinates क्या हैं? [NCERT p.5]

1. Observation Point $D_1$ lies on the $x$-axis at distance $8.5 ext{ units}$ from origin $O(0,0)$.

2. Coordinate Form For any point on the $x$-axis, the $y$-coordinate is $0$. Thus, $(x, y) = (8.5, 0)$.

🎯 Final Answer: The coordinates of $D_1$ are $(8.5, 0)$.

1. Observation (निरीक्षण) Point $D_1$ $x$-axis पर origin $O(0,0)$ से $8.5 ext{ units}$ की दूरी पर स्थित है।

2. Coordinate Form $x$-axis पर स्थित किसी भी point का $y$-coordinate हमेशा $0$ होता है। अतः $(x, y) = (8.5, 0)$ होगा।

🎯 Final Answer: $D_1$ के coordinates $(8.5, 0)$ प्राप्त होते हैं।

Q(iii). If $R_1$ is the point $(11.5, 0)$, how wide is the door? Do you think this is a comfortable width for the room door? If a person in a wheelchair wants to enter the room, will he/she be able to do so easily? [NCERT p.5] Q(iii). यदि $R_1$ point $(11.5, 0)$ है, तो दरवाजा कितना चौड़ा है? क्या यह कमरे के दरवाजे के लिए उपयुक्त width है? क्या wheelchair वाला व्यक्ति आसानी से enter कर सकेगा? [NCERT p.5]

1. Given Points $D_1 = (8.5, 0)$ and $R_1 = (11.5, 0)$.

2. Width Calculation $$ ext{Door Width} = x(R_1) - x(D_1) = 11.5 - 8.5 = \mathbf{3.0 ext{ units}}$$

3. Practical Evaluation If $1 ext{ unit} = 1 ext{ foot}$, a width of $3 ext{ ft}$ ($36 ext{ inches} pprox 91.4 ext{ cm}$) provides ample clearance for standard wheelchairs ($32 ext{ to }36 ext{ in}$).

🎯 Final Answer: Door width $= \mathbf{3.0 ext{ units}}$. Yes, this is a very comfortable width and accessible for wheelchairs.

1. Given Points $D_1 = (8.5, 0)$ और $R_1 = (11.5, 0)$ $x$-axis पर स्थित हैं।

2. Width Calculation $$ ext{Door Width} = x(R_1) - x(D_1) = 11.5 - 8.5 = \mathbf{3.0 ext{ units}}$$

3. Practical Accessibility यदि $1 ext{ unit} = 1 ext{ foot}$ है, तो $3 ext{ ft}$ ($36 ext{ inches}$) standard wheelchair ($32 ext{ से }36 ext{ inches}$) के लिए बहुत comfortable और accessible opening है।

🎯 Final Answer: Door width $= \mathbf{3.0 ext{ units}}$ है। हां, wheelchair वाला व्यक्ति आसानी से enter कर सकता है।

Q(iv). If $B_1(0, 1.5)$ and $B_2(0, 4)$ represent the ends of the bathroom door, is the bathroom door narrower or wider than the room door? [NCERT p.5] Q(iv). यदि $B_1(0, 1.5)$ और $B_2(0, 4)$ बाथरूम के दरवाजे के ends को दर्शाते हैं, तो क्या बाथरूम का दरवाजा कमरे के दरवाजे से संकरा (narrower) है या चौड़ा (wider)? [NCERT p.5]

1. Bathroom Door Width Points $B_1(0, 1.5)$ and $B_2(0, 4)$ lie on the $y$-axis: $$ ext{Width} = y(B_2) - y(B_1) = 4 - 1.5 = \mathbf{2.5 ext{ units}}$$

2. Comparison Room door width $= 3.0 ext{ units}$. Since $2.5 < 3.0$, the bathroom door is narrower.

🎯 Final Answer: The bathroom door is narrower ($2.5 ext{ units}$ vs $3.0 ext{ units}$).

1. Bathroom Door Width Points $B_1(0, 1.5)$ और $B_2(0, 4)$ $y$-axis पर हैं: $$ ext{Width} = y(B_2) - y(B_1) = 4 - 1.5 = \mathbf{2.5 ext{ units}}$$

2. Comparison (तुलना) Room door کی width $= 3.0 ext{ units}$ है। चूंकि $2.5 < 3.0$, बाथरूम का door संकरा (narrower) है।

🎯 Final Answer: बाथरूम का दरवाजा narrower (संकरा) है ($2.5 ext{ units}$ बनाम $3.0 ext{ units}$)।

NCERT Exercise Set 1.2 — Coordinate Geometry in Floor Planning Exercise Set 1.2 — Floor Planning में Coordinates का इस्तेमाल

Ex 1.2 · Q1 Write the coordinates of the vertices of the square $OABC$ in the 4th quadrant with side length $a = 5 ext{ units}$, with origin at $O(0,0)$ and $OA$ along the $+x$-axis. [NCERT p.8] Ex 1.2 · Q1 4th quadrant में स्थित square $OABC$ के vertices के coordinates लिखें, जिसकी side $a = 5 ext{ units}$ है, origin $O(0,0)$ पर है और side $OA$ $+x$-axis पर है। [NCERT p.8]

1. Given $O(0,0)$, side $a = 5$, 4th quadrant ($x > 0, y < 0$).

2. Vertices Coordinates • Origin: $O(0,0)$
• Point $A$ on $+x$-axis: $(5, 0)$
• Point $B$ in 4th quadrant: $(5, -5)$
• Point $C$ on $-y$-axis: $(0, -5)$

🎯 Final Answer: $O(0,0), A(5,0), B(5,-5), C(0,-5)$.

1. Given Data $O(0,0)$, side length $a = 5$, 4th quadrant ($x > 0, y < 0$) दिया है।

2. Vertices के Coordinates • Origin: $O(0,0)$
• Point $A$ $+x$-axis पर: $(5, 0)$
• Point $B$ 4th quadrant में: $(5, -5)$
• Point $C$ $-y$-axis पर: $(0, -5)$

🎯 Final Answer: Vertices के coordinates $O(0,0), A(5,0), B(5,-5), C(0,-5)$ प्राप्त होते हैं।

Ex 1.2 · Q2 An equilateral triangle $OAB$ of side length $2a$ has its base $OA$ along the $x$-axis, with vertex $O$ at origin $(0,0)$. Find the coordinates of the third vertex $B$. [NCERT p.9] Ex 1.2 · Q2 Side length $2a$ का एक equilateral triangle $OAB$ है जिसका base $OA$ $x$-axis पर है और vertex $O(0,0)$ पर है। Third vertex $B$ के coordinates calculate करें। [NCERT p.9]

1. Given $O(0,0)$, $A(2a, 0)$, Side $= 2a$.

2. Altitude & Midpoint • The $x$-coordinate of $B$ is the midpoint of $OA$: $x = rac{0 + 2a}{2} = a$.
• Altitude $h = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

🎯 Final Answer: $B(a, a\sqrt{3})$ (above $x$-axis) or $B(a, -a\sqrt{3})$ (below $x$-axis).

1. Given $O(0,0)$, $A(2a, 0)$, side length $= 2a$ दिया है।

2. Midpoint और Altitude • $B$ का $x$-coordinate $OA$ का midpoint होगा: $x = a$।
• Pythagoras theorem से altitude $h = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = a\sqrt{3}$।

🎯 Final Answer: $B$ के coordinates $(a, a\sqrt{3})$ या $(a, -a\sqrt{3})$ होंगे।

NCERT End-of-Chapter Exercises (Complete Q1 to Q16) End-of-Chapter Exercises (सम्पूर्ण प्रश्न 1 से 16)

End Ex · Q1 Plot the points $P(3, 4)$, $Q(-2, 5)$, $R(-4, -3)$, and $S(5, -2)$ and state their respective quadrants. [NCERT p.13] End Ex · Q1 Points $P(3, 4)$, $Q(-2, 5)$, $R(-4, -3)$ और $S(5, -2)$ के respective quadrants identify करें। [NCERT p.13]

1. Quadrant Rule $(+,+) o ext{Q I}$, $(-,+) o ext{Q II}$, $(-,-) o ext{Q III}$, $(+,-) o ext{Q IV}$.

2. Evaluation • $P(3, 4) \implies (+, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant I}}$
• $Q(-2, 5) \implies (-, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant II}}$
• $R(-4, -3) \implies (-, -) \implies \mathbf{ ext{Quadrant III}}$
• $S(5, -2) \implies (+, -) \implies \mathbf{ ext{Quadrant IV}}$

🎯 Final Answer: $P$: Quadrant I, $Q$: Quadrant II, $R$: Quadrant III, $S$: Quadrant IV.

1. Quadrant Signs $(+,+) o ext{Q I}$, $(-,+) o ext{Q II}$, $(-,-) o ext{Q III}$, $(+,-) o ext{Q IV}$।

2. Evaluation (जांच) • $P(3, 4) \implies (+, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant I}}$
• $Q(-2, 5) \implies (-, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant II}}$
• $R(-4, -3) \implies (-, -) \implies \mathbf{ ext{Quadrant III}}$
• $S(5, -2) \implies (+, -) \implies \mathbf{ ext{Quadrant IV}}$

🎯 Final Answer: $P$: Quadrant I, $Q$: Quadrant II, $R$: Quadrant III, $S$: Quadrant IV प्राप्त होते हैं।

End Ex · Q2 What is the distance of the point $P(-6, 8)$ from the $x$-axis and from the $y$-axis? What is its direct distance from the origin $O(0,0)$? [NCERT p.13] End Ex · Q2 Point $P(-6, 8)$ की $x$-axis और $y$-axis से distance क्या है? Origin $O(0,0)$ से इसकी direct distance calculate करें। [NCERT p.13]

1. Axis Distances • Distance from $x$-axis $= |y| = |8| = \mathbf{8 ext{ units}}$.
• Distance from $y$-axis $= |x| = |-6| = \mathbf{6 ext{ units}}$.

2. Distance from Origin $$OP = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10 ext{ units}}$$

🎯 Final Answer: Distance from $x$-axis $= \mathbf{8}$, from $y$-axis $= \mathbf{6}$, and from origin $= \mathbf{10 ext{ units}}$.

1. Axis Distances • $x$-axis से distance $= |y| = |8| = \mathbf{8 ext{ units}}$।
• $y$-axis से distance $= |x| = |-6| = \mathbf{6 ext{ units}}$।

2. Origin से Distance $$OP = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = \mathbf{10 ext{ units}}$$

🎯 Final Answer: $x$-axis से distance $= \mathbf{8}$, $y$-axis से $= \mathbf{6}$, और origin से distance $= \mathbf{10 ext{ units}}$ है।

End Ex · Q3 If $A(2, 3), B(2, -1), C(-2, -1)$, and $D(-2, 3)$ are four points plotted on a Cartesian plane, name the figure formed by joining $A, B, C, D$ in order and calculate its perimeter and area. [NCERT p.13] End Ex · Q3 Points $A(2, 3), B(2, -1), C(-2, -1)$ और $D(-2, 3)$ को order में join करने पर कौन-सी figure बनेगी? इसका perimeter और area calculate करें। [NCERT p.13]

1. Side Lengths • Length $AB = |3 - (-1)| = 4 ext{ units}$ (Vertical segment).
• Length $BC = |2 - (-2)| = 4 ext{ units}$ (Horizontal segment).
• Since all 4 sides are equal ($4 ext{ units}$) and angles are $90^\circ$, $ABCD$ is a Square.

2. Perimeter & Area • $ ext{Perimeter} = 4 imes 4 = \mathbf{16 ext{ units}}$.
• $ ext{Area} = 4 imes 4 = \mathbf{16 ext{ sq units}}$.

🎯 Final Answer: Figure: Square. Perimeter $= \mathbf{16 ext{ units}}$, Area $= \mathbf{16 ext{ sq units}}$.

1. Side Lengths की गणना • Side $AB = |3 - (-1)| = 4 ext{ units}$ (Vertical)।
• Side $BC = |2 - (-2)| = 4 ext{ units}$ (Horizontal)।
• सभी 4 sides equal ($4 ext{ units}$) और angles $90^\circ$ हैं, अतः figure एक Square (वर्ग) है।

2. Perimeter और Area • $ ext{Perimeter} = 4 imes 4 = \mathbf{16 ext{ units}}$।
• $ ext{Area} = 4 imes 4 = \mathbf{16 ext{ sq units}}$।

🎯 Final Answer: Figure: Square। Perimeter $= \mathbf{16 ext{ units}}$ और Area $= \mathbf{16 ext{ sq units}}$ प्राप्त होते हैं।

End Ex · Q6 Write the coordinates of the reflection of the point $P(4, -5)$ in: (i) the $x$-axis, (ii) the $y$-axis, (iii) the origin $O(0,0)$. [NCERT p.14] End Ex · Q6 Point $P(4, -5)$ के reflection के coordinates लिखें: (i) $x$-axis में, (ii) $y$-axis में, (iii) origin $O(0,0)$ में। [NCERT p.14]

1. Reflection Rules • Reflection in $x$-axis: $(x, y) o (x, -y) \implies (4, -(-5)) = \mathbf{(4, 5)}$.
• Reflection in $y$-axis: $(x, y) o (-x, y) \implies (-4, -5) = \mathbf{(-4, -5)}$.
• Reflection in origin: $(x, y) o (-x, -y) \implies (-4, 5) = \mathbf{(-4, 5)}$.

🎯 Final Answer: (i) $(4, 5)$, (ii) $(-4, -5)$, (iii) $(-4, 5)$.

1. Reflection Rules • $x$-axis में reflection: $(x, y) o (x, -y) \implies \mathbf{(4, 5)}$।
• $y$-axis में reflection: $(x, y) o (-x, y) \implies \mathbf{(-4, -5)}$।
• Origin में reflection: $(x, y) o (-x, -y) \implies \mathbf{(-4, 5)}$।

🎯 Final Answer: (i) $(4, 5)$, (ii) $(-4, -5)$, (iii) $(-4, 5)$ प्राप्त होते हैं।

End Ex · Q7 Find the value of $k$ if the point $P(2k-1, k+2)$ lies on the line given by $2x - 3y + 8 = 0$. [NCERT p.14] End Ex · Q7 यदि point $P(2k-1, k+2)$ line $2x - 3y + 8 = 0$ पर स्थित है, तो $k$ की value calculate करें। [NCERT p.14]

1. Substitution Substitute $x = 2k-1$ and $y = k+2$ into $2x - 3y + 8 = 0$: $$2(2k - 1) - 3(k + 2) + 8 = 0$$

2. Solve for $k$ $$4k - 2 - 3k - 6 + 8 = 0 \implies k = 0$$

🎯 Final Answer: The value of $k$ is $0$ (point is $(-1, 2)$).

1. Values Put करना $x = 2k-1$ और $y = k+2$ को line $2x - 3y + 8 = 0$ में put करते हैं: $$2(2k - 1) - 3(k + 2) + 8 = 0$$

2. $k$ Solve करना $$4k - 2 - 3k - 6 + 8 = 0 \implies k = 0$$

🎯 Final Answer: $k$ की value $0$ प्राप्त होती है (point $(-1, 2)$ है)।

End Ex · Q10 Three vertices of a rectangle $ABCD$ are $A(-3, 2), B(5, 2)$, and $C(5, -4)$. Plot these points and determine the coordinates of the fourth vertex $D$. [NCERT p.14] End Ex · Q10 Rectangle $ABCD$ के 3 vertices $A(-3, 2), B(5, 2)$ और $C(5, -4)$ हैं। Fourth vertex $D$ के coordinates identify करें। [NCERT p.14]

1. Property In a rectangle parallel to axes, $D$ shares $x$-coordinate with $A$ and $y$-coordinate with $C$.

2. Coordinates of $D$ • $x(D) = x(A) = -3$
• $y(D) = y(C) = -4 \implies D = \mathbf{(-3, -4)}$

🎯 Final Answer: The coordinates of vertex $D$ are $(-3, -4)$.

1. Rectangle Property Axes के parallel rectangle में vertex $D$ का $x$-coordinate $A$ के समान और $y$-coordinate $C$ के समान होगा।

2. $D$ के Coordinates • $x(D) = x(A) = -3$
• $y(D) = y(C) = -4 \implies D = \mathbf{(-3, -4)}$

🎯 Final Answer: Fourth vertex $D$ के coordinates $(-3, -4)$ प्राप्त होते हैं।

End Ex · Q12 If a point $M(a, b)$ lies in Quadrant III, in which quadrant will the following points lie? (i) $(-a, b)$, (ii) $(a, -b)$, (iii) $(-a, -b)$. [NCERT p.15] End Ex · Q12 यदि point $M(a, b)$ Quadrant III में है, तो बताएं निम्नलिखित points किस quadrant में होंगे? (i) $(-a, b)$, (ii) $(a, -b)$, (iii) $(-a, -b)$। [NCERT p.15]

1. Given Signs $M(a, b) \in ext{Q III} \implies a < 0$ (negative) and $b < 0$ (negative).

2. Evaluation • (i) $(-a, b) \implies (+, -) \implies \mathbf{ ext{Quadrant IV}}$
• (ii) $(a, -b) \implies (-, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant II}}$
• (iii) $(-a, -b) \implies (+, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant I}}$

🎯 Final Answer: (i) Quadrant IV, (ii) Quadrant II, (iii) Quadrant I.

1. Given Signs $M(a, b)$ Quadrant III में है $\implies a < 0$ (negative) और $b < 0$ (negative) है।

2. Evaluation (जांच) • (i) $(-a, b) \implies (+, -) \implies \mathbf{ ext{Quadrant IV}}$
• (ii) $(a, -b) \implies (-, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant II}}$
• (iii) $(-a, -b) \implies (+, +) \implies \mathbf{ ext{Quadrant I}}$

🎯 Final Answer: (i) Quadrant IV, (ii) Quadrant II, (iii) Quadrant I प्राप्त होते हैं।

End Ex · Q16 State whether the following statements are True or False with justification: (i) The point $(0, -7)$ lies in Quadrant IV. (ii) The coordinates of the origin are $(0, 0)$. (iii) The abscissa of any point on the $y$-axis is always 0. [NCERT p.15] End Ex · Q16 True या False बताएं और reason दें: (i) Point $(0, -7)$ Quadrant IV में है। (ii) Origin के coordinates $(0, 0)$ होते हैं। (iii) $y$-axis पर किसी भी point का abscissa हमेशा 0 होता है। [NCERT p.15]

1. Evaluations • (i) False: $(0, -7)$ lies on the negative $y$-axis, not in any quadrant.
• (ii) True: Origin is the intersection of axes $(0, 0)$.
• (iii) True: Every point on $y$-axis has $x = 0$ (abscissa $= 0$).

🎯 Final Answer: (i) False, (ii) True, (iii) True.

1. Statements की जांच • (i) False: $(0, -7)$ negative $y$-axis पर है, किसी quadrant में नहीं।
• (ii) True: Origin axes का intersection point $(0, 0)$ होता है।
• (iii) True: $y$-axis पर स्थित हर point का $x$-coordinate (abscissa) 0 होता है।

🎯 Final Answer: (i) False, (ii) True, (iii) True प्राप्त होते हैं।

CBSE 5. Past 5 Years CBSE Board / Exam Questions (PYQs) 5. पिछले 5 वर्षों के CBSE Board / Exam Questions (Step Marking Scheme के साथ)

CBSE 2023 [1 Mark] The perpendicular distance of the point $P(3, 4)$ from the $y$-axis is: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7 Point $P(3, 4)$ की $y$-axis से perpendicular distance क्या है? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 7

1. Concept [½ Mark] The perpendicular distance of any point $(x, y)$ from the $y$-axis is equal to its absolute abscissa $|x|$.

2. Calculation [½ Mark] $$ ext{Distance} = |x| = |3| = \mathbf{3 ext{ units}}$$

🎯 Correct Option: (A) 3.

1. Concept (अवधारणा) [½ Mark] किसी point $(x, y)$ की $y$-axis से perpendicular distance उसके $x$-coordinate के magnitude $|x|$ के बराबर होती है।

2. Calculation [½ Mark] $$ ext{Distance} = |x| = |3| = \mathbf{3 ext{ units}}$$

🎯 Correct Option: (A) 3 प्राप्त होता है।

CBSE 2022 [2 Marks] If the coordinates of two points are $A(-2, 5)$ and $B(-3, -6)$, find the value of $( ext{Abscissa of } A) - ( ext{Ordinate of } B)$. यदि points $A(-2, 5)$ और $B(-3, -6)$ हैं, तो $( ext{Abscissa of } A) - ( ext{Ordinate of } B)$ की value calculate करें।

1. Identify Terms [1 Mark] • Abscissa of $A(-2, 5) = x(A) = -2$
• Ordinate of $B(-3, -6) = y(B) = -6$

2. Evaluate Difference [1 Mark] $$( ext{Abscissa of } A) - ( ext{Ordinate of } B) = (-2) - (-6) = -2 + 6 = \mathbf{4}$$

🎯 Final Answer: The value is $4$.

1. Terms पहचान [1 Mark] • Point $A(-2, 5)$ का Abscissa ($x$-coordinate) $= -2$
• Point $B(-3, -6)$ का Ordinate ($y$-coordinate) $= -6$

2. Difference Calculate करना [1 Mark] $$(-2) - (-6) = -2 + 6 = \mathbf{4}$$

🎯 Final Answer: Result $4$ प्राप्त होता है।

CBSE 2024 [3 Marks] Plot the points $A(1, 4), B(-2, 1)$, and $C(4, 1)$ on a graph sheet. Join them to form triangle $ABC$ and find its area. Points $A(1, 4), B(-2, 1)$ और $C(4, 1)$ को graph पर plot करें। Triangle $ABC$ बनाकर उसका area calculate करें।

1. Base Length [1 Mark] Points $B(-2, 1)$ and $C(4, 1)$ lie on the horizontal line $y = 1$: $$ ext{Base } BC = |4 - (-2)| = 6 ext{ units}$$

2. Height [1 Mark] Vertex $A(1, 4)$ has $y = 4$. Perpendicular height to line $y = 1$: $$h = |4 - 1| = 3 ext{ units}$$

3. Area Calculation [1 Mark] $$ ext{Area} = rac{1}{2} imes ext{base} imes ext{height} = rac{1}{2} imes 6 imes 3 = \mathbf{9 ext{ sq units}}$$

🎯 Final Answer: The area of $\Delta ABC$ is $9 ext{ sq units}$.

1. Base Length की गणना [1 Mark] Points $B(-2, 1)$ और $C(4, 1)$ horizontal line $y = 1$ पर हैं: $$ ext{Base } BC = |4 - (-2)| = 6 ext{ units}$$

2. Height की गणना [1 Mark] Vertex $A(1, 4)$ से line $y = 1$ की vertical height: $$h = |4 - 1| = 3 ext{ units}$$

3. Area Calculate करना [1 Mark] $$ ext{Area} = rac{1}{2} imes 6 imes 3 = \mathbf{9 ext{ sq units}}$$

🎯 Final Answer: Triangle का area $9 ext{ sq units}$ प्राप्त होता है।

CBSE 2024 [4 Marks Case Study] Case Study: Smart City Surveillance Grid
A smart city surveillance control room sets origin $O(0,0)$ at the central tower. Drone Alpha is at $A(4, 3)$, Drone Beta is at $B(-3, 3)$, and Drone Gamma is at $C(-3, -2)$.
(i) What is the distance between Drone Beta and Drone Gamma? [1 Mark]
(ii) State the quadrant in which Drone Gamma is located. [1 Mark]
(iii) If a fourth Drone Delta $D$ is deployed such that $ABCD$ forms a rectangle, find the coordinates of $D$. [2 Marks] Case Study: Smart City Surveillance Grid
एक smart city grid में origin $O(0,0)$ central tower पर है। Drone Alpha $A(4, 3)$, Drone Beta $B(-3, 3)$ और Drone Gamma $C(-3, -2)$ पर हैं।
(i) Drone Beta और Drone Gamma के बीच की distance calculate करें। [1 Mark]
(ii) Drone Gamma किस quadrant में स्थित है? [1 Mark]
(iii) यदि Drone Delta $D$ इस तरह deploy किया जाए कि $ABCD$ rectangle बने, तो $D$ के coordinates निकालें। [2 Marks]

Part (i) Distance $BC$ [1 Mark] $B(-3, 3)$ and $C(-3, -2)$ share vertical line $x = -3$: $$ ext{Distance } BC = |3 - (-2)| = \mathbf{5 ext{ units}}$$

Part (ii) Quadrant of Gamma [1 Mark] $C(-3, -2)$ has $x < 0$ and $y < 0 \implies \mathbf{ ext{Quadrant III}}$.

Part (iii) Coordinates of $D$ [2 Marks] For rectangle $ABCD$: • $x(D) = x(A) = 4$
• $y(D) = y(C) = -2 \implies D = \mathbf{(4, -2)}$

🎯 Final Answers: (i) $5 ext{ units}$, (ii) Quadrant III, (iii) $D(4, -2)$.

Part (i) Distance $BC$ [1 Mark] $B(-3, 3)$ और $C(-3, -2)$ vertical line $x = -3$ पर हैं: $$ ext{Distance } BC = |3 - (-2)| = \mathbf{5 ext{ units}}$$

Part (ii) Gamma का Quadrant [1 Mark] $C(-3, -2)$ में $x < 0$ और $y < 0$ है $\implies \mathbf{ ext{Quadrant III}}$।

Part (iii) $D$ के Coordinates [2 Marks] Rectangle $ABCD$ के लिए: • $x(D) = x(A) = 4$
• $y(D) = y(C) = -2 \implies D = \mathbf{(4, -2)}$

🎯 Final Answers: (i) $5 ext{ units}$, (ii) Quadrant III, (iii) $D(4, -2)$ प्राप्त होते हैं।